1、第十讲 平面向量的数量积板块十 向量数量积德运算规律、向量数量积的运算法则基础知识1两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，作a，b，则 称作向量a和向量b的夹角，记作 ，并规定它的范围是 .在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，b (2)当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .2向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在 上的数量或在 上的数量.a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有
2、al .3向量的数量积(内积) 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab 典型例题例1已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积变式已知|a|4，|b|3，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积例2已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.变式已知|a|8，|b|6，|ab|10，求向量a与b的夹角.例3已知ab9，a在b方向上的正射影为3，b在a方向上的正射影为，求与b的夹角及|a|b|.变式 已知|a|1，|b|1，a，b的夹角为120，计算向量2ab在向量ab方向上的正
3、射影课堂练习一、基础过关1已知|a|3，|b|4，且a与b的夹角150，则ab等于()A6 B6C6 D62已知|a|9，|b|6，ab54，则a与b的夹角为()A45 B135C120 D1503|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的正射影等于()A3 B2C2 D14已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于()A. BC D15已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|等于()A0 B2C4 D86已知|a|2，|b|10，a，b120，则向量b在向量a方向上的正射影是_，向量a在向量b方向上的正射影是_7已知向量a与b的夹角为120，且|a|b|4，那么b(2ab)的值为_8已知ABC中，a，b，当ab满足下列条件时，能确定ABC的形状吗？ab0.二、能力提升9设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b等于()A150 B120 C60 D3010已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b(ab)0，则|b|的取值范围是_11已知向量a，b满足|a|12，|b|15，|ab|25，求|ab|.12在ABC中，已知|5，|4，|3，求：；在方向上的正射影；在方向上的正射影三、探究与拓展13已知正方形ABCD的边长为，P为CD上一动点，则的最大值为()A1 B. C2 D4
