1、压轴大题突破练(一)(推荐时间：60分钟)1 已知函数f(x)x2(2a1)xaln x(a0)(1)当a1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)求函数f(x)在区间1，e上的最小值解(1)a1时，f(x)x23xln x，定义域为(0，)，f(x)2x3，令f(x)0，2x23x10(x0)，0x1，f(x)的单调增区间为，(1，)(2)f(x)x2(2a1)xaln x，f(x)2x(2a1).当0a时，f(x)在(0，a)，上递增，f(x)在1，e上单调递增，f(x)minf(1)2a，当a1时，f(x)在1，e上单调递增，f(x)minf(1)2a，当1ae时，f(x)在1，a)上单调
2、递减，在(a，e)上单调递增，f(x)minf(a)a2aaln a.当ae时，f(x)在1，e上递减，f(x)minf(e)e2(2a1)ea.综上所述：0a1时，f(x)min2a；1ae时，f(x)mina2aaln a；ae时，f(x)mine2(2a1)ea.2 已知抛物线x24y，过点A(0,1)任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点(1)求的值；(2)过M，N分别作抛物线C的切线l1， l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，并证明你的结论解(1)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组消去y得x24kx
3、40，所以x1x24k， x1x24，y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)14k24k211，故x1x2y1y2413.(2)因为x24y，所以yx，l1的方程为yx1(xx1)，整理得yx1x，同理得l2的方程为yx2x；联立方程x2x1得(x2x1)y，y1，故l1与l2的交点的纵坐标等于1，即l1与l2的交点在直线y1上3 已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间1,1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4；(3)若过点A(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范
4、围(1)解f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即解得a1，b0.f(x)x33x.(2)证明f(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)，当1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1,1上为减函数，f(x)maxf(1)2，f(x)minf(1)2.对于区间1,1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|2(2)4.(3)解f(x)3x233(x1)(x1)，曲线方程为yx33x，点A(1，m)(m2)不在曲线上设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0x3x0.因f(x0)3(x1)，故切线的斜率为3(x1)，整理得
5、2x3xm30.过点A(1，m)可作曲线的三条切线，关于x0的方程2x3xm30有三个实根设g(x0)2x3xm3，则g(x0)6x6x0，由g(x0)0，得x00或x01.g(x0)在(，0)和(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减函数g(x0)2x3xm3的极值点为x00，x01.关于x0的方程2x3xm30有三个实根的充要条件是解得3m2.故所求的实数m的取值范围是(3，2)4 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y24x上相异的两点，且满足x1x22.(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求AMB的面积的最大值及此时
6、直线AB的方程解(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为ykxb，代入方程y24x得：k2x2(2kb4)xb20，有x1x22得bk，直线AB的方程为yk(x1)，AB中点的横坐标为1，AB中点的坐标为，AB的中垂线方程为y(x1)x，AB的中垂线经过点P(0,2)，故2得k，故直线AB的方程yx，即9x6y10.(2)由(1)可知AB的中垂线方程为yx，M点的坐标为(3,0)直线AB的方程为k2xky2k20，M到直线AB的距离d，由得y2ky2k20，y1y2，y1y2，|AB|y1y2|，SAMB4，设t，则0t1，S4t(2t2)4t38t，S12t28，由S0，得t，即k时，Smax，直线AB的方程为3xy10.
