1、考点规范练18三角函数的图象与性质一、基础巩固1.在下列函数中,周期为的奇函数是()A.y=sin xcosxB.y=sin2xC.y=tan 2xD.y=sin 2x+cos 2x答案:A解析:y=sin2x为偶函数;y=tan2x的周期为2;y=sin2x+cos2x为非奇非偶函数,故B,C,D都不正确,故选A.2.(2021新高考,4)下列区间中,函数f(x)=7sinx-6单调递增的区间是()A.0,2B.2,C.,32D.32,2答案:A解析:由题意知x-6-2+2k,2+2k,kZ,即x-3+2k,23+2k,kZ.当k=0时,函数f(x)=7sinx-6的单调递增区间为-3,23
2、,0,2-3,23,0,2是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A.3.最小正周期为且图象关于直线x=3对称的函数是()A.y=2sin2x+3B.y=2sin2x-6C.y=2sinx2+3D.y=2sin2x-3答案:B解析:由函数的最小正周期为,排除C;由函数图象关于直线x=3对称知,该直线过函数图象的最高点或最低点.因为sin23-6=sin2=1,所以选B.4.已知函数f(x)=sinx+4(0)的最小正周期为,则函数f(x)的图象()A.关于直线x=4对称B.关于直线x=8对称C.关于点4,0对称D.关于点8,0对称答案:B解析:函数f(x)的最小正周期为,2=.=2.f(x)=s
3、in2x+4.函数f(x)图象的对称轴为直线2x+4=k+2,kZ,即x=8+k2,kZ.故函数f(x)的图象关于直线x=8对称,故选B.5.y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是()A.2+4B.C.2D.2+1答案:A解析:因为y=cos(x+1)的周期是2,最大值为1,最小值为-1,所以y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是2+4,故选A.6.已知曲线f(x)=sin 2x+3cos 2x关于点(x0,0)成中心对称,若x00,2,则x0=()A.12B.6C.3D.512答案:C解析:由题意可知f(x)=2sin2x+3,其图象的对称中心为(x0
4、,0),故2x0+3=k(kZ),即x0=-6+k2(kZ).又x00,2,故k=1,x0=3,故选C.7.已知函数f(x)=2cos x(sin x-cosx)+1的定义域为a,b,值域为-2,22,则b-a的值不可能是()A.512B.2C.712D.答案:D解析:f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=2sinxcosx-2cos2x+1=2sin2x-4,又axb,2a-42x-42b-4.-22sin2x-422,即-1sin2x-412,2b-4-2a-4max=6-76=43,2b-4-2a-4min=6-2=23,故3b-a23,故b-a的值不可能是,故选D.8.已知函
5、数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为,最大值为3B.f(x)的最小正周期为,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2,最大值为4答案:B解析:因为f(x)=2cos2x-(1-cos2x)+2=3cos2x+1=31+cos2x2+1=32cos2x+52,所以函数f(x)的最小正周期为22=,当cos2x=1时,f(x)max=4.9.函数f(x)=sin2x+3在0,2上的值域是.答案:-32,1解析:x0,2,2x+33,43,当2x+3=2,即x=12时,f(x)max=1.当2x+3=43,即x=2时,f(x
6、)min=-32,f(x)-32,1.10.若函数y=2sin(3x+)|2图象的一条对称轴为直线x=12,则=.答案:4解析:因为y=sinx图象的对称轴为直线x=k+2(kZ),所以312+=k+2(kZ),得=k+4(kZ).又|2,所以k=0,故=4.11.已知函数y=cosx与y=sin(2x+)(0),它们的图象有一个横坐标为3的交点,则的值是.答案:6解析:由题意知cos3=sin23+,即sin23+=12,所以23+=2k+6(kZ)或23+=2k+56(kZ).因为00,在函数y=2sin x与y=2cos x的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则=.答案:2解
7、析:如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出函数y=2sinx与y=2cosx的图象.A,B为符合条件的两个交点.则A4,2,B-34,-2.由|AB|=23,得2+(22)2=23,解得=2,即=2.二、能力提升13.已知函数f(x)=cos(x+)(0)的部分图象如图所示,则下列结论成立的是()A.f(x)的单调递增区间是2k-512,2k+12,kZB.函数fx-3是奇函数C.函数fx-6是偶函数D.f(x)=cos2x-6答案:D解析:根据题图可得142=12+6,解得=2.再根据五点法作图可得212+=0,=-6,故f(x)=cos2x-6.故D正确.令2k-2x-62k,kZ,求得k
8、-512xk+12,kZ,故A错误.由fx-3=cos2x-3-6=cos2x-56,可知fx-3是非奇非偶函数,故B错误.由fx-6=cos2x-6-6=cos2x-2=sin2x是奇函数,故C错误.故选D.14.如果函数y=3cos(2x+)的图象关于点43,0对称,那么|的最小值为()A.6B.4C.3D.2答案:A解析:由题意得3cos243+=3cos23+2=3cos23+=0,23+=k+2,kZ,=k-6,kZ.当k=0时,|取最小值6.15.已知函数f(x)=sin(x+)0,|2,x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在区间18,536内单调
9、,则的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案:B解析:由题意得-4+=k1,k1Z,4+=k2+2,k2Z,解得=k1+k22+4,=2(k2-k1)+1,k1,k2Z.|2,=4或=-4.f(x)在区间18,536内单调,536-18T2,T6,即26,12.0,00)和g(x)=3cos(2x+)的图象的对称中心完全相同,若x0,2,则f(x)的取值范围是.答案:-32,3解析:由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则=2,即f(x)=3sin2x-6.当x0,2时,-62x-656,解得-12sin2x-61,故f(x)-32,3.三、高考预测17.设函数f(x)=cosx-6(0).若f(x)f4对任意的实数x都成立,则的最小值为.答案:23解析:对任意xR都有f(x)f4,f4=1,即cos4-6=1.4-6=2k,kZ.0,当k=0时,取得最小值,即4=6,=23.故的最小值为23.