1、 专题15 导数及其应用【2015高考预测】【难点突破】难点 1利用导数的几何意义1已知抛物线y=-x2+2,过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的面积最小，求l的方程。2由原点O向三次曲线y=x3-3ax2（a0）引切线，切于点P1（x1,y1）(O,P1两点不重合)，再由P1引此曲线的切线，切于点P2（x2,y2）(P1，P2不重合)。如此继续下去，得到点列Pn(xn,yn)求x1;求xn与xn+1满足的关系式；若a0，试判断xn与a的大小关系并说明理由难点 2利用导数探讨函数的单调性1已知mR,研究函数f(x)=的单调区间2.已知函数f(x)=在x=1处取极值，且函
2、数g(x)= 在区间（a-6,2a-3）内是减函数，求a的取值范围。3已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图像交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2，0），且f(x)在-1，0和4，5上有相同的单调性，在0，2和4，5上有相反的单调性。（1）求C的值；（2）在函数f(x)的图像上是否存在一点M（x0,y0）使得f(x)在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。4已知函数f(x)=+（b-1）x2+cx(b,c为常数)（1）若f(x)在x(-,x1)及x（x2+）上单调递增，且在x（x1,x2）上单调递减，又满足0x2-x11.求证b2x1
3、,试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明。难点 3利用导数求函数的极值和最值2.设函数f(x)是定义在-1，0 0，1上奇函数，当x-1，0时，f(x)=2ax+(a为实数)（1）当x（0，1）时，求f(x)的解析式；（2）若a-1，试判断f(x)在0，1上的单调性；（3）是否存在a，使得当x（0，1）时，f(x)有最大值-6。3已知f(x)=-x3+ax,其中aR,g(x)=,且f(x)0易错点 2导数几何意义的运用1.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_.2设t0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两
4、函数的图像在P点处有相同的切线。（1）用t表示a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。3.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处有极值。（1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。【特别提醒】设函数y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为f(x0)，则过此点的切线的斜率为f(x0),在此点处的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。【举一反三】1 曲线y=2x-x3在点（1，1）处的切线方程为_.
5、2 曲线y=x3在点（a,a3）(a0)处的切线与x轴，直线x=a所转成的三角形的面积为，则a=_.3 已知函数f(x)=lnx,g(x)= ax2+bx(a0)(1)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围。（2）设函数f(x)的图像C1与函数g(x)图像C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。4 已知函数f(x)=|1-|,(x0)(1)证明：0a1;(2)点P（x0,y0）(0x01时，方程f(x)=0，在e-m-m,e2m-m内有两个实根。5用长为90cm，宽为48cm的
6、长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【特别提醒】1证函数f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（a、b）内个别点上满足f(x)=0(或不存在但连续)其余点满足f(x)0(或f(x)0)函数f(x)仍然在（a、b）内单调递增（或递减），即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。2函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）可能有若干个，而且有时极小值大于它的极大值，另外，f(x)=0是可导数f
7、(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时可以是不必要条件。3函数的最大值、最小值，表示函数f(x)在整个区间的情况，即是在整体区间上对函数值的比较，连续函数f(x)在闭区间a、b上必有一个最大值和一最小值，最多各有一个，但f(x)在（a、b）上就不一定有最大值（或最小值）。4实际应用问题利用导数求f(x)在（a、b）的最大值时,f(x)=0在（a,b）的解只有一个，由题意最值确实存在，就是f(x)=0的解是最值点。【举一反三】1 已知mR,设P：x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，不等式|m2-5m-3|x1-x2|对任意实数a-1，1恒成立。Q：
8、函数f(x)=x3+(m+)x+6在（-,+ ）上有极值。求使P正确且Q正确的m的取值范围。2 已知函数f(x)=0,1(1)求f(x)的单调减区间和值域；3 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)4 设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中aR, (1)若f(x)在x=3处取得极值，求实数a的值。（2）若f(x)在（-，0）上为增函数，求a的取值范围。5 某企业有一条价值a万元的流水生产线，要提高该流水生产线的生产能力，提高产品的增加值，就要对充水生产线进行技术改造
9、，假设增加值y万元与技改把风入x万元之间的关系满足y与（a-x）x2成正比例；当x=时，y=;0t,其中t为常数且t0,2.(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式，并求其定义域；（2）求出增加值y的最大值，并求出此时的技改投入x值。【2015高考突破】 1函数yf(x)的图象在点x5处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)等于()A1 B2C0 D.2函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()3若函数f(x)的导函数在区间(a，b)上的图象关于直线x对称，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()A BC D4函数f(x)3x2lnx2x的
10、极值点的个数是()A0 B1C2 D无数个5已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率是()A2 B1C3 D26已知函数f(x)lnx，则下列结论中正确的是()A若x1，x2(x1x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1，x2)内是增函数B若x1，x2(x10，且x1，f(x)2Dx00，f(x)在(x0，)上是增函数7f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若a0，设x1，x2是方程f(x)0的两根，则|x1x2|的取值范围是()A. B.C. D.10已知函数g(x)ax
11、3bx2cxd (a0)的导函数为f(x)，且a2b3c0，f(0)f(1)0，设x1，x2是方程f(x)0的两根，则|x1x2|的取值范围是()A. B.C. D.11曲线ye5x2在点(0,3)处的切线方程为_12已知函数f(x)xex，则f(x)_；函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为_13若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_14已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1，x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是_15已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)t0时，求f(x)的单调区间16已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有x20时，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.414 21.414 3，估计ln2的近似值(精确到0.001)20已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点