1、返首页 专题四 立体几何 解密高考 立体几何问题重在“建”建模、建系返首页 思维导图返首页 技法指津立体几何解答题建模、建系策略立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深解决这类题目的原则是建模、建系(1)建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距离等的计算模型；(2)建系依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解,返首页 母题示例：2019 年全国卷，本小题满分 12 分 图 1 是由矩形 ADEB、RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB1，BEBF2，FBC60，将其沿 AB，BC 折起使得 B
2、E 与 BF 重合，连接 DG，如图 2.图 1 图 2(1)证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；(2)求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小.返首页 本题考查：线线平行的性质，面面垂直的判定、二面角的求法等知识，转化化归及推理论证等能力，直观形象、数学运算、逻辑推理等核心素养.返首页 审题指导发掘条件 (1)看到图形的折叠，想到折叠前后的不变量；看到证明四点共面，想到直线的平行或相交；看到证明面面垂直，想到先证明线面垂直；看到求二面角，想到法向量；缺相应点的坐标，借助(1)的结论及边长、角度等信息补建坐标系及相应点的坐标 返首页 规范解答评分标准(
3、1)由已知得 ADBE，CGBE，所以 ADCG，故 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，G，D 四点共面.2 分建模：利用平行关系证明四点共面由已知得 ABBE，ABBC，BEBCB，故 AB平面BCGE.3 分建模：利用线线垂直关系证明线面垂直，进而证明面面垂直又因为 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 BCGE.4 分返首页(2)作 EHBC，垂足为 H.因为 EH平面 BCGE，平面 BCGE平面 ABC，所以 EH平面ABC.5 分建系：利用垂直关系建立空间直角坐标系由已知，菱形 BCGE 的边长为 2，EBC60，可求得 BH1，EH 3.6 分以 H 为坐标原点，HC 的
4、方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 H-xyz，返首页 则 A(1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，3)，CG(1,0，3)，AC(2，1,0).8 分设平面 ACGD 的法向量为 n(x，y，z)，则CG n0，ACn0，即x 3z0，2xy0.所以可取 n(3,6，3).10 分返首页 又平面 BCGE 的法向量可取为 m(0,1,0)，所以 cosn，m nm|n|m|32.11 分建模：利用向量坐标运算求空间角因此二面角 B-CG-A 的大小为 30.12 分返首页 构建模板五步解法 立体几何类问题的求解策略 第一步 找垂直第二步 写坐标第三步 求向量第四步
5、求夹角第五步 得结论 找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标求直线的方向向量或平面的法向量计算向量的夹角得到所求两个平面所成的角或直线与平面所成的角返首页 母题突破 1：2019 年合肥模拟，本小题满分 12 分1.如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，EFAC，EF1，ABC60，CE平面 ABCD，CE 3，CD2，G 是 DE 的中点(1)求证：平面 ACG平面 BEF；(2)求直线 AD 与平面 ABF 所成的角的正弦值返首页 解(1)证明：连接 BD 交 AC 于 O，则 O 是 BD的中点，连接 OG，G 是 DE 的
6、中点，故 OGBE，又 BE平面 BEF，OG平面 BEF，2 分所以 OG平面 BEF.又 EFAC，AC平面 BEF，EF平面 BEF，所以 AC平面 BEF，又 ACOGO，AC，OG平面 ACG，所以平面 ACG平面 BEF.4分,(2)连接 OF，由题意可得 OC1，即 OCEF，返首页 又 EFAC，所以四边形 OCEF 为平行四边形，所以 OFEC，OFEC 3，所以 OF平面 ABCD，所以 OF，OC，OD 两两垂直.6 分 如图，以 O 为坐标原点，分别以 OC，OD，OF 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，返首页 则 A(1,0,0)，B(0，3，0)，D(0
7、，3，0)，F(0,0，3)，AD(1，3，0)，AB(1，3，0)，AF(1,0，3)7 分设平面 ABF 的法向量为 m(a，b，c)，依题意有mAB，mAF，即a，b，c1，3，0a 3b0，a，b，c1，0，3a 3c0，9 分 返首页 令 a 3，则 b1，c1，m(3，1，1)，|cosAD，m|AD m|AD|m|3 34 5 155，11 分 所以直线 AD 与平面 ABF 所成的角的正弦值是 155.12 分返首页 2.(2019年 昆 明 模 拟)在 三 棱 柱ABC-ABC中，ABBCCAAA，侧面 ACCA底面 ABC，D 是棱 BB的中点(1)求证：平面 DAC平面
8、ACCA；(2)若AAC60，求二面角 A-BC-B的余弦值返首页 解(1)取 AC，AC的中点 O，F，连接 OF 与 AC 交于点E，连接 DE，OB，BF.则 E 为 OF 的中点，因为三棱柱 ABC-ABC，所以OFAABB，且 OFAABB，所以四边形 BBFO 是平行四边形.2 分 又 D 是棱 BB的中点，所以 DEOB.因为侧面 AACC底面 ABC，且 OBAC，返首页 所以 OB平面 ACCA，所以 DE平面 ACCA，又 DE平面 DAC，所以平面 DAC平面 ACCA.5 分 返首页(2)连接 AO，因为AAC60，所以AAC 是等边三角形，故 AO底面 ABC.6分
9、设 ABBCCAAA2，可得 AOOB 3，分别以 OB，OC，OA分别为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标系，返首页 则 A(0，1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A(0,0，3)，BC(3，1,0)，BB AA(0,1，3).8 分 设平面 BCCB的一个法向量为 m(x，y，z)，则 mBC0，mBB 0，所以 3xy0，y 3z0，取 x1，y 3，z1，所以 m(1，3，1).10 分 返首页 又平面 ABC 的一个法向量为 n(0,0,1)，故 cosm，n15 55，11 分 因为二面角 A-BC-B为钝角，所以其余弦值为 55.12 分返首页 规 范 解 答 集 训 点击右图进入 返首页 Thank you for watching!