1、考点规范练12函数与方程一、基础巩固1.已知函数f(x)=2x-1,x1,1+log2x,x1,则函数f(x)的零点为()A.12,0B.-2,0C.12D.0答案:D解析:当x1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=12,又因为x1,所以此时方程无解.综上可知,函数f(x)的零点只有0,故选D.2.函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案:B解析:函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-1x的零点.f(x)在
2、区间(0,+)内的图象是连续的,且f(1)=ln2-10,f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.3.由表格中的数据可以判定函数f(x)=lnx-x+2的一个零点所在的区间是(k,k+1)(kZ),则k的值为()x12345lnx00.691.101.391.61x-2-10123A.1B.2C.3D.4答案:C解析:当x取值分别是1,2,3,4,5时,f(1)=1,f(2)=0.69,f(3)=0.1,f(4)=-0.61,f(5)=-1.39,f(3)f(4)0,函数的零点在区间(3,4)内,k=3,故选C.4.若函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取
3、值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案:C解析:因为函数f(x)=2x-2x-a在区间(1,2)内单调递增,又函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)f(2)0,所以(-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0.所以0a3.5.若f(x)是奇函数,且x0是函数y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点()A.y=f(-x)ex-1B.y=f(x)e-x+1C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+1答案:C解析:由已知可得f(x0)=-ex0,则e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0一定
4、是y=exf(x)-1的零点.6.已知函数f(x)=|2x-1|,x2,3x-1,x2,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)答案:D解析:画出函数f(x)的图象如图所示.观察图象可知,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点,此时需满足0a0,f1+330,函数f(x)的零点个数为1,故选B.8.已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x0,1时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=110x在区间0,4上解的个数是()A.1B.2C.3D.
5、4答案:D解析:由f(x-1)=f(x+1),可知函数f(x)的周期T=2.当x0,1时,f(x)=x.又f(x)是偶函数,所以f(x)的图象与y=110x的图象如图所示.由图象可知f(x)=110x在区间0,4上解的个数是4.故选D.9.已知f(x)=|lg(x-1)|,若0a2ab(由于a4.10.已知函数f(x)=log2(x+1),x0,-x2-2x,x0,若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.答案:(0,1)解析:因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点,所以f(x)-m=0有3个根,所以y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图象,由
6、抛物线的顶点为(-1,1),可知实数m的取值范围是(0,1).11.设函数f(x)=log2x,x0,4x,x0,则f(f(-1)=;若函数g(x)=f(x)-k存在两个零点,则实数k的取值范围是.答案:-2(0,1解析:f(f(-1)=f14=log214=-2.令g(x)=0,得f(x)=k,等价于y=f(x)的图象和直线y=k有两个不同的交点,在平面直角坐标系中画出y=f(x)的图象,如图所示.要使得两个函数图象有2个不同的交点,需0x2),则下列结论正确的是()A.1x12,x1+x22B.1x12,x1+x21,x1+x21,x1+x21答案:A解析:函数f(x)=|2x-2|+b有
7、两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2x1).在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如右),可知1x12.当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点.当y=-b2时,由图可知x1+x20)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为()A.8B.-8C.0D.-4答案:B解析:定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.函数图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.f(x)在区间0,2上为增函数,f(
8、x)在区间-2,0上为增函数,综上条件得函数f(x)的示意图如图所示.由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2(-6),另两个交点的横坐标之和为22,故x1+x2+x3+x4=-8,故选B.15.(多选题)已知定义域和值域均为-a,a(a0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.方程fg(x)=0有且仅有三个解B.方程gf(x)=0有且仅有三个解C.方程ff(x)=0有且仅有九个解D.方程gg(x)=0有且仅有一个解答案:AD解析:设f(x)的零点为x1,x2,x3,且x1x21,2x,x1,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5上的零点的个数
9、为.答案:8解析:f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x).又x-1,1时,f(x)=x2,f(x)的图象如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)的图象,可见y=f(x)(-5x5)与y=2x(x1)有5个交点,y=f(x)(-5x5)与y=log3(x-1)(x1)的图象有3个交点,故共有8个交点.三、高考预测18.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR都有f(x+1)=f(x-1).当0x1时,f(x)=x2.若函数y=f(x)-x-a在0,2上有三个不同的零点,则实数a的取值范围为.答案:-14,0解析:因为对任意的xR都有f(x+1)=f(x-1),所以f(x+2)=f(x).所以函数f(x)的周期为2.由f(x)-x-a=0,得f(x)=x+a.又当0x1时,f(x)=x2,且f(x)是定义在R上的偶函数,故可画出f(x)的示意图如图所示.设直线y=x+a与抛物线f(x)=x2在0,1之间相切于点P(x0,y0).由f(x)=2x,可得2x0=1,解得x0=12.故y0=122=14,即P12,14,将点P代入y=x+a,得a=-14.当直线经过点O,A时,a=0.若函数y=f(x)-x-a在0,2上有三个不同的零点,即直线y=x+a与曲线y=f(x)在0,2上恰有三个不同的公共点,则-14a0.