1、浙江省宁波市九校2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）选择题部分（40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知实数，则有（ ）A. B. C. D.2.不论实数为何值时，函数图象恒过定点，则这个定点的坐标为（ ）A. B. C. D.3.下列四个命题中是真命题的是（ ）A.， B.，C.， D.，4.在的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）A. B. C. D.5.函数的部分简图为（ ）A. B.C. D.6.一次志愿者活动中，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生排
2、在正中间，要求3名高中生中任意两名不相邻，则不同的排法有（ ）A.144 B.216 C.288 D.4327.对于，规定，点集从点集中任取一个点，在点横纵坐标有偶数的条件下，横纵坐标都是偶数的概率为（ ）A. B. C. D.8.已知函数是定义在上的知函数，其导函数满足，则下列结论中正确的是（ ）A.恒成立 B.当且仅当时，C.恒成立 D.当且仅当时，9.已知随机变量的分布列如下，若，则的值可能是（ ）124A. B. C. D.10.已知对任意的，恒有成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D.非选择题部分三、填空题：共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分.11.已知，则_；_.1
3、2.已知定义在上的奇函数，已知，则该函数的解析式为_.13.意大利画家达芬奇在绘制抱银貂的女子（右图）时曾仔细思索女子脖子上的黑色项链的形状是什么曲线？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线的解析式为（为自然对数的底数）.若直线与双曲余弦曲线交于点，曲线在，两点处的切线相交于点，且为等边三角形，则_，_.14.已知，若，则_；_.15.将10个相同的小球放入，三个盒子，其中盒子至少有1个小球，有_种放法.16.已知函数和，对于任意，且时，都有成立，则实数的取值范围为_.17.已知函数和，有下列四个结论：当时，若函数有3个零点，则；当时，函数有6个
4、零点；当时，函数的所有零点之和为；当时，函数有3个零点；其中正确结论的序号为_.三、解答题：共5小题，满分74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（满分14分）设全集为，.（）若，求，；（）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.19.（满分15分）对于定义域为的函数，如果存在正数和区间，使得函数满足，则称该函数为“倍函数”，区间为“优美区间”.特别地，当时，称该函数为“一致函数”.（）若是“倍函数，求的取值范围；（）已知函数.若区间为“一致函数”的“优美区间”，求，的值.20.（满分15分）（）计算求值：；（）用数学归纳法证明：.（参考数值：）21.（满分15分）甲盒
5、中装有3个红球和2个黄球，乙盒中装1红球和4个黄球.（）从甲盒有放回地摸球，每次摸出一个球，摸到红球记1分，摸到黄球记2分.某人摸球4次，求该人得分的分布列以及数学期望；（）若同时从甲、乙两盒中各取出2个球进行交换，记交换后甲、乙两盒中红球的个数分别为、，求数学期望，.22.（满分15分）已知函数.（）讨论函数极值点的个数；（）若，且对任意正数都有成立，求实数的取值范围.（为自然对数的底数）.参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1已知实数alog32，blog2，则有（）AabcBacbCcabDcba解：因为0log31log32log331，所以0a1；因为1log22l
6、og2log3，所以1bc，所以abc故选：A2不论实数a为何值时，函数图象恒过定点，则这个定点的坐标为（）ABCD解：函数a（2x）+2x，令2x0，解得x1，所以yf（1），所以f（x）图象恒过定点（1，），即定点的坐标为（1，）故选：B3下列四个命题中是真命题的是（）Ax1（0，+），Bx2（1，+），C，Dx（0，1），解：根据题意，依次分析选项：对于A，若x1（0，+），必有1，则必有，A错误；对于B，若x2（1，+），lgx20，必有0，即，B错误；对于C，x（0，），有，x1，则必有，C正确；对于D，当x时，x3（）3，有x3，D错误；故选：C4在（x2y）7的展开式中，系数绝对
7、值最大的项是（）A672x2y5B672x2y5C560x3y4D560x3y4解：（x2y）7的展开式中，通项公式为 Tr+1（2）rx7ryr，该项的系数绝对值为2r，要使该项的系数绝对值最大，需，即，求得r结合rN，可得当r5时，该项的系数绝对值最大为672，故该项为T6672 x2y5，故选：B5函数的部分简图为（）ABCD解：根据题意，函数，其定义域为R，有f（x）ln（+x）cos（x）ln（x）cosxf（x），则函数f（x）为奇函数，排除BD，在区间（0，）上，cosx0，0x1，则有ln（x）0，必有f（x）0，排除C，故选：A6一次志愿者活动中，其中小学生2名、初中生3名、
8、高中生3名现将他们排成一列，要求2名小学生排在正中间，要求3名高中生中任意两名不相邻，则不同的排法有（）A144B216C288D432解：根据题意，分2种情况讨论：2名小学夹在两名高中生之间，有2144种站法，2名小学没有夹在两名高中生之间，有288种站法，则有144+288432种不同的站法，故选：D7对于a，bN*，规定，点集M（a，b）|ab60，a，bN*，从点集M中任取一个点，在点横纵坐标有偶数的条件下，横纵坐标都是偶数的概率为（）ABCD解：ab60，a，bN*，若a和b一奇一偶，则ab60，满足此条件的有160320415512，故点（a，b）有8个，若a和b同奇偶，则a+b6
9、0，满足点横纵坐标有偶数的有2+584+566+5428+3230+30共15组，故点（a，b）有29个，所以点横纵坐标有偶数的个数为8+2937个，横纵坐标都是偶数的个数为29个，所以在点横纵坐标有偶数的条件下，横纵坐标都是偶数的概率为故选：A8已知函数f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f（x）满足，则下列结论中正确的是（）Af（x）0恒成立B当且仅当x（，1）时，f（x）0Cf（x）0恒成立D当且仅当x（1，+）时，f（x）0解：因为函数f（x）是定义在R上的减函数，所以f（x）0，故f（x）+（x1）f（x）0，令g（x）（x1）f（x），则g（x）在R递增，而g（1）0，故x1时，
10、g（x）0，x1时，g（x）0，则f（x）0，故f（x）0在R恒成立，故选：C9已知随机变量的分布列如表，若E（）3，则D（）的值可能是（）124PxyzABCD解：因为E（）3，则，所以x1+2z，y23z，故D（）x（13）2+y（23）2+z（43）22+6z，因为，解得，则12+6z2，所以1D（）2故选：B10已知对任意的x3，3，恒有ax2+bx3a+10成立，则2a+b的最大值为（）ABCD1解：一方面，当x1时，ab3a+10，即2a+b1另一方面，当时，此时2a+b1，综上所述，2a+b 的最大值为 1故选：D三、填空题：共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分。11已知
11、Ax|（x+3）（1x）0，By|ylog2（1x），xA，则A（3，1）；AB（，2）解：Ax|（x+3）（1x）0x|3x1，By|ylog2（1x），xAy|y2，A（3，1）；AB（，2）故答案为：（3，1），（，2）12已知定义在R上的奇函数，已知x0，则f（1）4，该函数的解析式为 解：根据题意，x0，则f（1）1+1+24，则f（1）4，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）0，当x0时，x0，则f（x）x2+2，又由f（x）为奇函数，则f（x）f（x）x2+2，综合可得：，故答案为：4，13意大利画家达芬奇在绘制抱银貂的女子（如图）时曾仔细思索女子脖子上的黑色项链的形状是什么
12、曲线？这就是著名的“悬链线问题”后人研究发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线C的解析式为（e为自然对数的底数）若直线ym与双曲余弦曲线C交于点A，B，曲线C在A，B两点处的切线相交于点P，且APB为等边三角形，则m2，|AB|解：令g（x），g（x），所以g（x）g（x），所以g（x）为偶函数，即g（x）关于y轴对称，所以A，B两点关于y轴对称，则设B（x0，m），A（x0，m），且m，又APB为等边三角形，所以点P在y轴上，且又g（x），kPB，所以切线PB的方程为ym（xx0），令x0时，y（x0）+m，所以点P到直线AB的距离dPCm（x0）+mx0，所以tanBPCtan
13、30，所以，令te（t0），则，所以t26t0，所以t2，所以t+2，所以m2，所以e+2，所以x0ln（+2），所以|AB|2x02ln（+2），故答案为：2；2ln（+2）14已知aiR（i0，1，10），若（x2+x2）5a0+a1x+a2x2+a10x10，则a1+a2+a932；a735解：（x2+x2）5a0+a1x+a2x2+a10x10，令x0，可得 a032，a101，再令x1，可得32+a1+a2+a9+11，a1+a2+a932a7为x7的系数，故在（x2+x2）5中，有3个因式取x2，其余的2个因式一个取x，另一个取2；或有2个因式取x2，其余的三个因式都取x故 a7（
14、2）+35，故答案为：32；3515将10个相同的小球放入A，B，C三个盒子，其中A盒子至少有1个小球，有 55种放法解：根据题意，可以先放入A盒子中一个球，原问题等价于将9个球放入A，B，C三个盒子，可以有空盒子的问题，将9个小球和2个挡板排成一排，用2个挡板可以将9个小球分为3组，分别放入A，B，C三个盒子即可，有C11255种排法，则有55种不同的放法，故答案为：5516已知函数f（x）lnx+3和，对于任意x1，x2（1，2），且x1x2时，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，则实数b的取值范围为 解：由柯西中值定理可知，|f（x）|min|g（x）|max在1，2
15、上恒成立，而，故当x1，2时，；g（x）xb，故当x1，2时，g（x）1b，2b；当时，|g（x）|max2b，则，解得，矛盾；当时，|g（x）|max1b，则，解得；当b2时，|g（x）|max1b，则，解得，矛盾；综上，实数b的取值范围为故答案为：17已知函数和g（x）x2+12a，有下列四个结论：当a1时，若函数yf（x）m有3个零点，则0m1；当1a2时，函数yf（g（x）有6个零点；当时，函数yg（f（x）的所有零点之和为1；当a1时，函数yf（f（x）有3个零点其中正确结论的序号为 解：对于：当a1时，f（x），作出直线ym与函数f（x）的大致图象，如下：由图可知，若函数yf（x）
16、m有3个零点，则0m1，故正确；对于：当x0时，f（x）x22axa+2，其对应的方程的根判别式为（2a）24（a+2）（2a+1）29，当1a2时，0，令g（x）t，作出函数yf（t），tg（x）的大致图象，分别如下：由图可知，函数yf（t）有3个零点，即t11，t2p，t3q，且0p1，q1，又g（0）12a1，且函数tg（x）的图象与直线t1，tp，tq共6个交点，所以函数yf（g（x）有6个零点，故正确；对于：当a时，f（x），令uf（x），则yg（u），作出函数uf（x），yg（u）的大致图象，分别如下：由图可知，函数yg（u）只有1个零点，即u0，函数uf（x）的图象与直线u0只有
17、1个交点，为（1，0），所以函数yg（f（x）所有零点之和为1，故正确；对于：当a1时，f（x），令vf（x），则yf（v），作出函数yf（v），vf（x）的大致图象，分别如下：由图可知，函数yf（v）有2个零点，即v11，v21，函数vf（x）的图象与直线v1，v1共有4个交点，所以yf（f（x）有四个零点，故不正确故答案为：三、解答题：共5小题，满分74分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18设全集为R，Ax|（ax+4）（x2a+3）0，a0，（）若a2，求AB，（RA）（RB）；（）若“xB”是“xA”的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：（）式子有意义，则有，即，得2x1
18、，B2，1）；当a2时，（ax+4）（x2a+3）0，即为（2x+4）（x1）0，得x2或x1；A（，2）（1，+），所以AB，（RA）（RB）R（）因为“xB”是“xA”的充分不必要条件，所以B是A的真子集；所以（ax+4）（x2a+3）0在x2，1）上恒成立，因为a0，则所以（ax+4）（x2a+3）0的解集为，所以2a32，得，综上可得a的取值范围为19对于定义域为D的函数yf（x），如果存在正数k和区间m，nD（nm），使得函数f（x）满足x|yf（x），xm，nkm，kn，则称该函数为“k倍函数”，区间m，n为“优美区间”特别地，当k1时，称该函数为“一致函数”（）若是“k倍函数“，
19、求k的取值范围；（）已知函数h（x）x22ax+b（a，bR）若区间1，a+1为“一致函数”h（x）的“优美区间”，求a，b的值解：（）因为是“k倍函数”且是增函数，所以在区间有两个不同的解，令，则kt22t+k0（k0）在0，+）有两个不同的解，则由于对称轴，端点t0代入得k0，224k20，得1k1，综上可得：k的取值范围为（0，1）（）h（x）x22ax+b（xa）2+ba2因为区间1，a+1为“一致函数”h（x）的“优美区间”，所以a+11即a0（1）当0a1时，则，得；（2）当a1，且即1a2时，则无解；当a2时，则，得综上可得或20（）计算求值：；（）用数学归纳法证明：（参考数值：
20、ln31.0986）【解答】（）解：代数式有意义，则，解得，nN*，所以n2；所以（）证明：当n1时，不等式，即证ln3，由ln31.0986知，不等式成立；假设nk（k1，kN*），结论成立，即成立；则nk+1时，不等式左侧等于，再证明：，即证，即证，即为，（*）令，则（*）等价于，令函数，则，所以在1，+）递减，所以，当t1时，即成立，所以成立，所以，即nk+1时，结论成立；综合，可得成立21甲盒中装有3个红球和2个黄球，乙盒中装1红球和4个黄球（）从甲盒有放回地摸球，每次摸出一个球，摸到红球记1分，摸到黄球记2分某人摸球4次，求该人得分的分布列以及数学期望E（）；（）若同时从甲、乙两盒中
21、各取出2个球进行交换，记交换后甲、乙两盒中红球的个数分别为1、2，求数学期望E（1），E（2）解：（）由题意可知，所以的分布列为：45678P；（）由题意可知，1的可能取值为1，2，3，4，所以；故，所以E（2）4E（1）1.822已知函数f（x）xln2xax2x（aR）（）讨论函数f（x）极值点的个数；（）若a0，且对任意正数x都有成立，求实数a的取值范围（e为自然对数的底数）解：（）因为f（x）xln2xax2x（aR），所以，研究f（x）ln2x2ax的变号零点，由f（x）ln2x2ax0得，记t2x0，因为，令g（t）0，可得te，所以t（0，e）时，g（t）0，t（e，+）时g（t）0，故在（0，e）递增，（e，+）递减，画出函数的简图：且，所以a0时，有一个极值点；，有两个极值点；，无极值点（）a0，且对任意正数x都有成立等价于ae3axln3x等价于3axe3ax3xln3xln3xeln3x（*）因为函数yexx在（0，+）单调递增所以（*）式子等价于3axln3x即为由第一题的过程可知，所求范围为，+）