1、第4章 导数及其应用41.3 导数的概念和几何意义第4章 导数及其应用 1.理解导数的概念，能根据定义求 yc，yx，yx2，y1x的导数 2.理解导数的几何意义 3理解函数 yf(x)在点(x0，y0)处的导数与函数图象在点(x0，y0)处的切线的斜率间的关系栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用1导数的概念(1)定义：设函数 f(x)在包含 x0 的某个区间上有定义，如果比值_ 在 d 趋 于 0 时(d0)趋于 确 定 的_，则称此极限值为函数 f(x)在 xx0 处的导数或微商，记作 f(x0)(2)记法：上述定义可以简单表述为：_读作“d 趋于 0
2、 时，f（x0d）f（x0）d趋于 f(x0)”f（x0d）f（x0）d 极限值f（x0d）f（x0）d f(x0)(d0)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用2导函数注意到 x0 是 f(x)的定义区间中的任意一点，所以也可以就是 x，而 f(x)也是 x 的_，叫作 f(x)的导函数(也叫作一阶导数)导函数 f(x)也是函数，如果 f(x)在 x 处可导，则它的导数叫作f(x)的_，记作 f(x)类似地，可以定义三阶导数 f(x)等函数二阶导数栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用3平均变化率与导数平均变化率导数表达
3、式f（ud）f（u）df（x0d）f（x0）df(x0)(d0)几何 意义曲线 f(x)上过两点(u，f(u)和(ud，f(ud)的割线的斜率函数的瞬时变化率 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用1函数 y2x1 在 x3 到 x5 的平均变化率是()A1 B2C3 D4答案：B2已知抛物线 y2x21，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为 45？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线 4xy20?栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用解：设点的坐标为(x0，y0)，则 y2(x0d)212x2014x0d2d2.
4、所以 yd 4x02d.即 f(x0)4x0.(1)因为抛物线的切线的倾斜角为 45，所以斜率为 tan 451.即 f(x0)4x01，得 x014，该点为(14，98)(2)因为抛物线的切线平行于直线 4xy20，所以斜率为 4.即 f(x0)4x04，得 x01，该点为(1，3)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用 求平均变化率 已知函数 f(x)3x1 和 g(x)2x21，分别计算在下列区间上 f(x)及 g(x)的平均变化率(1)3，1；(2)1，1d栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用【解】(1)对于 f
5、(x)3x1 在区间3，1上，因为 d1(3)2，f(1)f(3)3(1)13(3)16，所以f（1）f（3）d623，即函数 f(x)在区间3，1上的平均变化率为 3.对于 g(x)2x21 在区间3，1上，因为 d1(3)2，g(1)g(3)2(1)212(3)2116，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用所以g（1）g（3）d162 8，即函数 g(x)在区间3，1上的平均变化率为8.(2)对于 f(x)3x1 在区间1，1d上，因为 f(1d)f(1)3(1d)1(311)3d，所以f（1d）f（1）d3dd 3，即函数 f(x)在区间1，1d上的
6、平均变化率为 3.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势自变量的改变量 d 取值越小，越能准确体现函数的变化情况 对于 g(x)2x21 在区间1，1d上，因为 g(1d)g(1)2(1d)21(2121)4d2d2，所以g（1d）g（1）d4d2d2d42d，即函数 g(x)在区间1，1d上的平均变化率为 42d.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用 求 y 1x2在 x0到 x0d 之间的平均变化率(x00)解：当自变量从 x0 变到 x0d 时，函数的平均变化率为 f（x0d
7、）f（x0）d1（x0d）2 1x20d 2x0d（x0d）2x20.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用 求瞬时变化率 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果第 x h 时，原油的温度(单位：)为 yf(x)x27x15(0 x8)求函数 f(x)在 x2 和 x6时的瞬时变化率，并说明其意义栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用【解】因为 f(x0d)f(x0)(2x07)dd2，所以f（x0d）f（x0）d2x07d.当 d 趋于 0 时，f（x0d）f（x0）d趋于 2x07，所
8、以 f(x)在 x2 和 x6 时的瞬时变化率分别为3 和 5.说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3 C/h 的速度下降；在第 6 h 附近，原油温度大约以 5 C/h 的速度上升栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用求瞬时变化率的步骤(1)求函数改变量 f(x0d)f(x0)；(2)求平均变化率f（x0d）f（x0）d；(3)求 d 趋于 0 时，平均变化率的极限值，即瞬时变化率 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用 已知 f(x)x210，则 f(x)在 x32处的瞬时变化率是()A3 B3 C2 D2解析：选
9、 B.f（32d）f（32）dd3，当 d 趋于 0 时，d3 趋于3，故选 B.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用 利用定义求导数 求函数 y2x24x 在 x3 处的导数【解】令 f(x)y2x24x，f(3d)f(3)2(3d)24(3d)(23243)2d216d，所以f（3d）f（3）d2d216dd2d16，当 d 趋于 0 时，f（3d）f（3）d趋于 16.所以 f(3)16.利用导数定义求导数，“三步法”的模式是固定的，关键是要注意在求f（x0d）f（x0）d时，分式的通分，无理式的分子有理化等常用技巧的使用 栏目导引探究案讲练互动应用
10、案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用 求函数 yx2axb(a，b 为常数)在 x1 处的导数解：令 f(x)yx2axb，f(1d)f(1)(1d)2a(1d)b(12a1b)2dd2ad，所以f（1d）f（1）d 2dd2add2ad.当 d 趋于零时，f（1d）f（1）d趋于 2a.即函数 yx2axb 在 x1 处的导数为 2a.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用1函数 f(x)在 x0 处可导，是指 d 趋于 0 时f（x0d）f（x0）d有极限，如果不存在极限，就说函数在点 x0 处无导数2导数是研究在点 x0 处及其附近函数的改
11、变量 f(x0d)f(x0)与步长 d 之比的极限，它是一个局部性的概念，即 d 趋于 0 时，f（x0d）f（x0）d存在表示一个定数，函数 f(x)在点 x0 处的导数应是一个定数栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用1当自变量从 x0 变到 x1 时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A在区间x0，x1上的平均变化率B在 x0 处的变化率C在 x1 处的变化量D在区间x0，x1上的导数答案：A栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用2已知函数 yf(x)x21，则在 x2，d0.1 时，f(xd)f(x)的值为()A0.40 B0.41C0.43 D0.44解析：选 B.f(xd)f(x)f(2.1)f(2)2.12220.41.3已知 f(1)1，则当 d0 时，f（1d）f（1）d_解析：当 d0 时，f（1d）f（1）df(1)1.答案：1栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第4章 导数及其应用本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放