1、高考资源网（） 您身边的高考专家第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理(一)自主学习 知识梳理1一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_2在RtABC中，C90，则有：(1)AB_，0A90，0B90；(2)a2b2_(勾股定理)；(3)sin A_，cos A_，tan A_，sin B_，cos B_，tan B_；(4)_，_，_.3正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即_，这个比值是_ 自主探究已知ABC的三个内角A、B、C及对应的三边a、b、c，试用向量法证明正弦定理对点讲
2、练知识点一已知两角和一边解三角形例1在ABC中，a5，B45，C105，解三角形总结已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量，其中至少有一个是边，可以求解其余的三个量变式训练1在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形知识点二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在ABC中，a2，b6，A30，解三角形总结已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论变式训练2在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A60，a，b1，则c等于()A1 B2 C.1 D.知识点三已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数
3、例3不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a5，b4，A120；(2)a9，b10，A60；(3)c50，b72，C135.总结已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大角定理，也可作图判断变式训练3不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a7，b14，A30；(2)a30，b25，A150；(3)a7，b9，A45.1利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角2已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可
4、能无解，可能一解或两解例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.A为锐角absin Aabsin Absin Aab无解一解(锐角)课时作业一、选择题1在ABC中，下列等式中总能成立的是()Aasin Absin B Bbsin Ccsin ACabsin Cbcsin B Dasin Ccsin A2在ABC中，已知a18，b16，A150，则这个三角形解的情况是()A有两个解 B有一个解C无解 D不能确定3在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于()A4 B4 C4 D.4在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果ca，B30，那么角C等于()A120 B105
5、C90 D755在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是()Ab10，A45，C70Ba30，b25，A150Ca7，b8，A98Da14，b16，A45二、填空题6在ABC中，AC，BC2，B60，则C_.7在ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b2a，BA60，则A_.8在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是_三、解答题9在ABC中，若a2，A30，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？10在锐角三角形ABC中，A2B，a、b、c所对的角分别为A、B、C，求的取值范围第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理11.1
6、正弦定理(一)知识梳理1元素解三角形2(1)90(2)c2(3)(4)ccc3.三角形外接圆的直径2R自主探究证明(1)若ABC为直角三角形，不妨设C为直角如图所示，根据正弦函数的定义，sin A，sin B，所以c2R(2R为外接圆直径)C90，sin C1，c2R.2R.(2)若ABC为锐角三角形，过A点作单位向量i，则有：ii()ii，i，i0，ii，即ccos(90A)acos(90C)，csin Aasin C，.同理可证：；.(3)若ABC为钝角三角形，可仿(2)证明对点讲练例1解由三角形内角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ba55
7、；ca555()变式训练1解，b4.C180(AB)180(3045)105，c22.例2解a2，b6，ab，A30bsin A，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B，故B60或120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.变式训练2B例3解(1)sin Bsin 120，所以三角形有一解(2)sin Bsin 60，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足ABsin C，所以B45，所以BC180，故三角形无解变式训练3解(1)A30，absin A，故三角形有一解(2
8、)A15090，a30b25，故三角形有一解(3)A45，bsin 45ab，故三角形有两解课时作业1D2.B3C4A5D675解析由正弦定理，sin A.BC2AC，A为锐角，A45.C75.730解析b2asin B2sin A，又BA60，sin(A60)2sin A，即sin Acos 60cos Asin 602sin A，化简得：sin Acos A，tan A，A30.82x2解析因三角形有两解，所以asin Bba，即x2x，2x2.9解当a2a，b4时，无解；当ab或absin A，即b2或b4时，有一解；当bsin Aab，即2b4时，有两解10解在锐角三角形ABC中，A、B、C90，即30B45.由正弦定理知：2cos B(，)，故所求的范围是(，)- 6 - 版权所有高考资源网