1、自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 第二部分 讲练篇 专题四 立体几何第1讲 空间几何体的表面积、体积及有关量的计算自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 自 主 练 考 点 整 合 自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 做小题激活思维1已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cm B2 cmC3 cm D.32 cmB S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 2已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这
2、个球的体积为_92 设正方体的棱长为 a，则 6a218，a 3.设球的半径为 R，则由题意知 2R a2a2a23，R32.故球的体积 V43R34332392.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 3.(2019南昌模拟)如图，直角梯形 ABCD 中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若将该直角梯形绕 BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_(23)由题图中数据可得：S 圆锥侧122 2 2，S 圆柱侧212，S 底面12.所以几何体的表面积 SS 圆锥侧S 圆柱侧S 底面 22(23).自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 4如图，正三棱柱 ABC
3、-A1B1C1 的底面边长为2，侧棱长为 3，D 为 BC 的中点，则三棱锥A-B1DC1 的体积为_1 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ADBC，ADBB1，BB1BCB，AD平面 B1DC1.VA-B1DC113SB1DC1AD13122 3 31.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 5已知一个圆台的下底面半径为 3，高为 2，当圆台的上底面半径 r变化时，圆台体积的变化范围是_(6，18)V 圆台13(r2rrr2)h,0r3.当上底面面积为 0 时，圆台变为圆锥，V 圆锥13r2h6；当 r3 时，圆台变为圆柱，V 圆柱r2h18.所以圆台体积的变化范围是6，1
4、8.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 扣要点查缺补漏1空间几何体分为多面体和旋转体研究其特性常采用化空间为平面的方法，如截面图、轴截面等，如 T1.2旋转体的表面积和体积公式(1)S 圆柱侧2rl，S 圆锥侧rl，S 圆台侧(r1r2)l，S 球4R2，V 柱sh，V 锥13sh，V 球43R3，如 T3.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训(2)球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离 d 与球的半径 R 及截面圆半径 r 之间的关系是 rR2d2.3空间几何体的体积与表面积求法(1)割补法：求不规则几何体的体积或表面积时，通过割补
5、，转化成规则几何体求解(2)等积变换：涉及三棱锥的体积，注意灵活选择底面和对应的高如 T4.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 4多面体与球(1)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长如 T2.(2)若正四面体的棱长为 a，则正四面体的外接球半径为 64 a，内切球半径为 612a.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 研 考 题 举 题 固 法 自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 考点 1 空间几何体的展开图、截面图高考串讲
6、找规律1(2018全国卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为()A.3 34 B.2 33C.3 24D.32切入点：将每条棱所在直线与平面 所成的角相等转化为共顶点的三条棱所在直线与平面 所成角相等 自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 A 记该正方体为 ABCD-ABCD，正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，即共点的三条棱 AA，AB，AD与平面 所成的角都相等如图，连接 AB，AD，BD，因为三棱锥 A-ABD是正三棱锥，所以AA，AB，AD与平面 ABD所成的角都相等分别取 CD，BC，BB，AB
7、，AD，DD的中点 E，F，G，H，I，J，连接 EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得 E，F，G，H，I，J 六点共面，平面 EFGHIJ 与平面 ABD平行，且截正方体所得截面的面积最大又 EFFGGHIHIJJE 22，所以该正六边形的面积为 6 34 2223 34，所以 截此正方体所得截面面积的最大值为3 34，故选 A.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 2一题多解(2019全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边
8、形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 图 1 图 2自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 26 21 先求面数有如下两种方法 法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为 48 可知，其上部分有 9 个面，中间部分有 8 个面，下部分有 9 个面，共有 29826(个)面 自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)面数(F)棱数(E)2
9、.(欧拉公式)由题图知，棱数为 48 的半正多面体的顶点数为 24.故由 VFE2，得面数 F2EV2482426.再求棱长作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为 1 的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为 x，则正八边形的边长即为棱长 自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 连接 AF，过 H，G 分别作 HMAF，GNAF，垂足分别为 M，N，则 AMMHNGNF 22 x.又 AMMNNF1，22 xx 22 x1.x 21，即半正多面体的棱长为 21.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 立体几何中的“截、展”(1)“截”，指
10、的是截面，如柱、锥、台的直截面、斜截面以及旋转体的轴截面，它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系，能够列出有关量的关系(2)“展”，指的是侧面展开图，在有关沿表面的最短路径问题中，就是求侧面或某些面展开图上两点间的距离，即将空间问题转化为平面问题一般多面体常以棱所在的直线为剪开线展开，旋转体以母线为剪开线展开自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 考题变迁提素养1.(侧面展开图)如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处若该小虫爬行的最短路程为 4 3 m，则圆锥底面圆的半径等于_m.自主练考
11、点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 43 把圆锥侧面沿过点 P 的母线展开成如图所示的扇形，由题意 OP4，PP4 3，则 cosPOP42424 3224412，所以POP23.设底面圆的半径为 r，则 2r23 4，所以 r43.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 2(截面的计算问题)(2019广州模拟)已知圆锥的底面直径为 3，母线长为 1，过圆锥的顶点，作圆锥的截面，则截面面积的最大值为_自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 12 由于圆锥的底面直径为 3，母线长为 1，设圆锥轴截面的顶角为，则 cos 11321112.又(0，)，23.因
12、等截面面积的最大值为1211sin 212.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 考点 2 空间几何体的表面积和体积高考串讲找规律高考解读教师授课资源 空间几何体的表面积和体积是每年的必考内容，题型既有选择题也有解答题，以往多与三视图综合考查，由于新课标对三视图不作要求，对表面积和体积的考查也以单一考点的形式出现在高考试题中.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 角度一：空间几何体的表面积1(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 2 B12 C
13、8 2 D10切入点：过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的轴截面是面积为 8的正方形 关键点：找出圆柱的底面半径及母线的长 自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 B 因为过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所以圆柱的高为 2 2，底面圆的直径为 2 2，所以该圆柱的表面积为 2(2)22 22 212.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 2(2019 全国卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型 为 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 挖 去 四 棱 锥O-EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体
14、的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.切入点：E、F、G、H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.关键点：正确求出四棱锥的体积 自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 1188 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为 6 cm 和 4 cm，故 V 挖去的四棱锥131246312(cm3)又 V 长方体664144(cm3)，所以模型的体积为 V 长方体V 挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料
15、的质量为 1320.9118.8(g)自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 3.(2019全国卷)如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1.(1)证明：BE平面 EB1C1；(2)若 AEA1E，AB3，求四棱锥 E-BB1C1C 的体积自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 解(1)证明：由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故 B1C1BE.又 BEEC1，B1C1EC1C1，所以 BE平面 EB1C1.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训(2)由(1)知
16、BEB190.由题设知 RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故 AEAB3，AA12AE6.如图，作 EFBB1，垂足为 F，则 EF平面 BB1C1C，且 EFAB3.所以四棱锥 E-BB1C1C 的体积 V1336318.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 空间几何体的表面积与体积的求法(1)求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解(3)已知几何体的三视图，可去判断几何体的形状和各个度量，然后求解表面积和体积自主练考点
17、整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 考题变迁提素养1(组合体的表面积)如图 1 所示，已知正方体面对角线长为 a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图 2 所示的几何体，那么此几何体的表面积为()图 1 图 2A(12 2)a2 B(2 2)a2C(32 2)a2D(4 2)a2自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 B 拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面由于截面为矩形，长为 a，宽为22 a，所以面积为22 a2，所以拼成的几何体表面积为 422 a22 22 a2(2 2)a2，故选 B.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训
18、 2(等体积法的应用)(2019潍坊模拟)若正三棱锥 A-BCD 中，ABAC，且 BC1，则三棱锥 A-BCD 的高为()A.66B.33C.22D.63自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 A 设三棱锥 A-BCD 的高为 h.依题意得 AB，AC，AD 两两垂直，且 ABACAD 22 BC 22，BCD 的面积为 34 12 34.由 VA-BCDVB-ACD 得13SBCDh13SACDAB，即13 34 h1312222 22，解得 h 66，即三棱锥 A-BCD 的高 h 66.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 3(等体积转化法)如图，正方体
19、ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1-EDF 的体积为_自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 16 三棱锥 D1-EDF 的体积即为三棱锥 F-DD1E 的体积因为 E，F 分别为 AA1，B1C 上的点，所以在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，EDD1的面积为定值12，F 到平面 AA1D1D 的距离为定值 1，所以 VD1-EDFVF-DD1E1312116.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 考点 3 球与几何体的切接问题高考串讲找规律高考解读教师授课资源 高考对该点的考查要求较高，注重
20、了对空间想象力和化归转化能力的考查，平时训练应强化柱、锥与球切接关系的各种组合训练，进一步提升直观想象及数学运算素养.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 角度一：球与多面体的切、接问题1(2017全国卷)长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 14 长方体的顶点都在球 O 的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径 设球的半径为 R，则 2R 322212 14.球 O 的表面积为 S4R24142214.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 2(20
21、16全国卷)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是()A4 B.92 C6 D.323切入点：分析直三棱柱的内切球最大时与哪些面相切自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 B 由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切设球的半径为 R.因为ABC 的内切圆半径为681022，所以R2.又 2R3，所以 R32，所以 Vmax4332392.故选 B.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 3(2019全国卷)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC
22、，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF90，则球 O 的体积为()A8 6 B4 6C2 6 D.6自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 D 因为点 E，F 分别为 PA，AB 的中点，所以 EFPB，因为CEF90，所以 EFCE，所以 PBCE.取 AC 的中点 D，连接 BD，PD，易证 AC平面 BDP，所以 PBAC，又 ACCEC，AC，CE平面 PAC，所以 PB平面 PAC，自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 所以 PBPA，PBPC，因为 PAPBPC，ABC 为正三角形，所以 PAPC，即 PA，PB
23、，PC 两两垂直，将三棱锥 P-ABC 放在正方体中如图所示因为 AB2，所以该正方体的棱长为 2，所以该正方体的体对角线长为 6，所以三棱锥 P-ABC 的外接球的半径 R 62，所以球 O 的体积 V43R343623 6，故选 D.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 角度二：球与旋转体的切、接问题4(2017全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B.34 C.2 D.4自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 B 设圆柱的底面半径为 r，球
24、的半径为 R，且 R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形 r12122 32.圆柱的体积为 Vr2h34134.故选 B.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 解决与球有关的切、接问题的策略,1“接”的处理：,构造正长方体，转化为正长方体的外接球问题.,空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当截面过球心，接点等.,利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线.,2“切”的处理：,体积分割法求内切球半径.,作出合适的截面过球心，切点等，在平面上求解，,多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题.自主练考点整
25、合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 教师备选题1.(2017江苏高考)如图，在圆柱 O1O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1V2的值是_自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 32 设球 O 的半径为 R，球 O 与圆柱 O1O2 的上、下底面及母线均相切，圆柱 O1O2 的高为 2R，底面半径为 R.V1V2R22R43R3 32.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 2(2018全国卷)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为
26、 9 3，则三棱锥 D-ABC体积的最大值为()A12 3B18 3C24 3D54 3自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 B 设等边三角形 ABC 的边长为 x，则12x2sin 609 3，得 x6.设ABC 的外接圆半径为 r，则 2r6sin 60，解得 r2 3，所以球心到ABC 所在平面的距离 d 422 322，则点 D 到平面 ABC的最大距离 d1d46，所以三棱锥 D-ABC 体积的最大值 Vmax13SABC6139 3618 3.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 考题变迁提素养1(三棱锥的外接球)三棱锥 P-ABC 中，ABC 为等
27、边三角形，PAPBPC3，PAPB，三棱锥 P-ABC 的外接球的体积为()A.272 B.27 32C27 3 D27自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 B 三棱锥 P-ABC 中，ABC 为等边三角形，PAPBPC3，PABPBCPAC.PAPB，PAPC，PCPB.以 PA，PB，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥 P-ABC 的外接球正方体的体对角线长为 3232323 3，其外接球半径 R3 32.因此三棱锥 P-ABC的外接球的体积 V43 3 32327 32，故选 B.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时
28、集训 2(直棱柱的外接球)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在以O 为球心的球面上，且BAC34，AA1BC2，则球 O 的体积为()A4 3 B8C12 D20自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 A 在底面ABC 中，由正弦定理得底面ABC 所在的截面圆的半径 rBC2sinBAC22sin 34 2.所以直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径 Rr2AA122 2212 3.故直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43R34 3.选 A.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 3(动态最值问题)已知点 A，B，C，D 在同一个球
29、的球面上，ABBC 6，ABC90.若四面体 ABCD 体积的最大值为 3，则这个球的表面积为()A2 B4C8 D16自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 D ABBC 6，ABC90，SABC12 6 63，AC2 3，ABC 所在球的小圆的圆心 Q 是斜边 AC 的中点，小圆的半径为 3.四面体 ABCD 的体积取得最大值，且 SABC 不变，当底面 ABC 上的高最大时体积最大 自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 当 DQ 与平面 ABC 垂直时体积最大，最大值为13SABCDQ3，即133DQ3，解得 DQ3，如图所示，设球心为 O，半径为 R，在
30、RtAQO 中，OA2OQ2AQ2，即R2(3R)2(3)2，解得 R2.这个球的表面积 S4R216，故选 D.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 4(内切球)已知一个三棱锥的所有棱长均为 2，则该三棱锥的内切球的体积为_自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 354 由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示AEABsin 60 62，AO23AE 63，DO AD2AO22 33，自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 三棱锥的体积 VD-ABC13SABCDO13，设内切球的半径为 r，则 VD-ABC13r(SABCSABDSBCDSACD)13，r 36，V 内切球43r3 354.自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 专 题 限 时 集 训 点击右图进入 自主练考点整合 返首页 研考题举题固法 专题限时集训 Thank you for watching!