1、限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业04 角平分线的性质与判定1尺规作角平分线1）作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要熟练掌握.2）尺规作角平分线方法（重要）：已知:AOB. 求作：AOB的平分线.作法：以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C.画射线OC.射线OC即为所求.（如图1） 图1 图2 图32. 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.即：如图2所示，若点P在AOB的平分线上，且PDOA，PEOB，则PD=PE.3. 角平分线的判定定理：角的内部到角
2、的两边的距离相等的点在角的平分线上.即：如图2所示，若PDOA，PEOB，PD=PE，则点P 在AOB的平分线上.4三角形的内角平分线结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.即：如图3所示，ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 则点P到三边AB，BC，CA的距离相等.1如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A三条中线的交点B三边的垂直平分线的交点C三条角平分线的交点D三条高所在直线的交点【答案】C【解析】要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭应在三条角平分线的交点处故选C2如图，在中，于点C，平分
3、并交于点D，则点D到直线的距离为（）A1B2C3D4【答案】D【解析】如图所示，过点D作，平分，点D到直线的距离为4，故选D3如图，小亮和小明分别用尺规作的平分线，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（）A小亮、小明均正确B只有小明正确C只有小亮正确D小亮、小明均不正确【答案】A【解析】如图1，；小亮作图正确； 图1 图2由图2可知，C是线段的垂直平分线，小明作图正确.故选A4校园湖边一角的形状如图所示，其中，表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等，则点P在（）A线段、的交点B、角平分线的交点C线段、垂直平分线的交点D线段、垂直平分线的交点【答案】
4、B【解析】如图，、角平分线的交点P，垂足分别为K，L，M，则，即点P到三面墙的距离相等.故选B.5如图，在中，O为、平分线的交点，若的面积为30，则的面积为（）A16B20C24D48【答案】C【解析】O为平分线的交点，点O到的距离相等，面积的比，的面积为30，的面积为24故选C6.如图，在中，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点、，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积为（）ABCD【答案】C【解析】如图，过点作于点，根据题中作图可知：平分，的面积为，故答案为7如图，于于，若(1)求证：平分(2)写出与之间的等量关系，并说明理由【解析】（1）
5、于于，平分.（2），理由如下：在和中，8如图，在中，(1)尺规作图：作的角平分线交于点（保留作图痕迹）.(2)求的度数【解析】（1）如图所示，射线即为所求.（2）在中有，即，平分，9如图，是的角平分线，垂足分别为，(1)求证：；(2)若的面积为，求的长【解析】（1）是的角平分线，又，；（2）是的角平分线，10如图，中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于E(1) 如图1，若，求的度数；(2) 如图2，连接，求证：平分；(3) 如图3，若的周长为20，请直接写出的长 图1 图2 图3【解析】（1）的平分线与的外角平分线交于点D，；（2）如图，过点D作于P，于Q，平分，平分，平分.（3）如图
6、，由（2）知：，在和中，同理可得，的周长，即 11如图，在中，的平分线交于点，连接，过点作的面积是16，周长是8，则的长是（）A1B2C3D4【答案】D【解析】如图所示，过点作于点，分别是和的角平分线，故选D12如图，在和中，连接交于点，连接下列结论错误的是（）ABC平分D【答案】D【解析】，即在和中，故选项A正确；，故选项B正确；如图，过点作于点于点，平分，故选项C正确；平分，即，故选项D错误故选：D13如图，是的中点，平分，下列说法：平分，点到的距离等于，其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个【答案】A【解析】，如图，作，垂足为点，平分，点到的距离等于，故正确；平分，又，又，又，平分，故
7、正确；，故正确；，故错误；平分，又平分，故正确.故选A14在的平分线上取点，作，垂足为，动点分别在直线，射线上，且(1)如图1，当点在线段上时，作求证：；求的度数；(2)如图2，当点在延长线上时的度数为 ；求之间的数量关系；(3)在满足（2）中，的度数不变的条件下，当点在射线上，点在射线上时，直接写出之间的数量关系【解析】（1）是的角平分线，在与中，；由得，则，即，在四边形中，即；（2）过点P作于点Q，如图，是角平分线，则，在与中，则，在四边形中，即；由，得，在与中，则；（3）或当点M在线段上时，如图， 与（2）中同理，可得，；当点M在的延长线上时，如图，与（2）中同理可得，15如图，平面中两
8、条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线、的距离分别是，则称有序实数对是点M的“距离坐标”特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0下列说法：“距离坐标”是的点只有点O；“距离坐标”是的点只有1个；“距离坐标”是的点共有4个.其中正确的有 （填序号）【答案】【解析】“距离坐标”是的点只有点O，故正确；“距离坐标”是表示点M在直线上且到的距离等于1，“距离坐标”是的点有2个，故错误；“距离坐标”是表示点M到直线和的距离均等于2，点M在两直线和形成的夹角的平分线上，“距离坐标”是的点共有4个，故正确正确的有：故答案为：16我们定义：如图1，在四边形中，如果，对角线平分，我们称这种
9、四边形为“分角对补四边形”(1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_；（填序号）垂线段最短；垂直平分线的性质；角平分线的性质；三角形内角和定理.(2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明；(3)探究应用：如图3，在等腰中，平分，求证：【解析】（1）平分，根据角平分线的性质定理可知，故答案为：；（2），理由如下：如图2中，作交延长线于点E，于点F，平分，； （3）如图3，在上截取，连接，平分，即，由（2）的结论得，17（2023内蒙古中考真题）如图，在中，以点A为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆
10、心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（）ABCD【答案】A【解析】由尺规作图可得，是的平分线，在中，即，故选A18（2023福建中考真题）阅读以下作图步骤：在和上分别截取，使；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，连接，如图所示根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A且B且C且D且【答案】A【解析】由作图过程可得：，A选项符合题意；不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定,故C选项不符合题意；不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意故选A19（2023内蒙古赤峰中考真题）已知：如图，点M在的边上求作：射线，使，且点N在的平分线上作法：以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点C，D分别以点C，D为圆心大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P画射线以点M为圆心，长为半径画弧，交射线于点N画射线射线即为所求(1)用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)根据以上作图过程，完成下面的证明证明：平分， ， ()(括号内填写推理依据)()(填写推理依据)【解析】（1）作图如下，射线即为所求作的射线（2）平分，(等边对等角)(括号内填写推理依据)(内错角相等，两直线平行)(填写推理依据)故答案为：，等边对等角；内错角相等，两直线平行
