1、选修2-2第一章导数及其应用第1节 变化率与导数1.1.1 变化率问题 教学目标知识目标1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。3.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。4.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画
2、现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。教学重点1.平均变化率的概念的归纳得出；2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；3.感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。教学难点：平均变化率的理解与转化教学方法 引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。教学基本流程类比归纳有效建构知现象解析知识流程历史背景归纳小结习题释疑实例探究教学过程设计：一创设情境 为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函
3、数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;反之亦可；（2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值;（4）求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一。【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏，并领悟到问题的本质.二新课讲授（1） .问题提出：问题1 气温平均变化率【设计意图
4、】引导学生最终用温度的平均变化率刻画温度变化的快慢，让学生意识到可以用变化率体现事物变化的快慢情况。【学生探索】从图中观察出各时间段内的温度变化情况,怎样用数学知识表示这种现象？问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度）， 动手计算：和的平均速度，在这段时间里，；在这段时间里，思考：当时间从t1增加到t2时,高台跳水运动员的平均速度是多少?【归纳总结】平均速度是用来刻画位移变化快慢的量。探究：计算运动员在这段
5、时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内是静止的吗？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？【学生探究】经过计算知，所以，【分析作答】如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能反映每一时刻的运动状态。 问题3 气球膨胀率【学生探索1】吹气球的过程中，气球发生了什么变化？现象总结：在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 【学生探索2】从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(
6、单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么空气容量v(L) 0 1 2 3气球半径（dm） 0 0.620.780.89半径的改变量（dm）0.620.160.11如果体积增量不是1L,而是2L或是3L,显然用半径的变化量不足以刻画半径增加的快慢，因此还要计算半径的变化率。 此题中的气球半径的变化率就叫做气球的平均膨胀率。V从0增加到1L气球平均膨胀率为 V从1L增加到2L气球平均膨胀率为 V从2L增加到3L气球平均膨胀率为 【设计意图】对一种生活现象的数学解析，层层深入，激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是可以服务于生活实际的.思考：当空气容
7、量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?【归纳总结】平均膨胀率用来刻画气球半径变化快慢的量。让学生回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。（2）平均变化率概念:【获取新知】平均变化率定义平均变化率：式子 ，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。习惯上用, 则平均变化率为（说明x是一个整体符号，而不是与x相乘）【定义理解】1、平均变化率是用来刻画变量变化快慢的量。2、式子中x，y的值可正、可负，x的值不能为0，y的值可以为0.3、变式: 求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的变化量 (2)计算函数平均变化率：思考：T(月)W(kg)639
8、123.56.58.6110（3）例题讲解例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试比较从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率那个较大.【设计意图】引导学生从数与形两个角度来分析变量的变化快慢。例2.已知函数f(x)=2x+1, 分别计算在下列区间上f(x)的平均变化率. (1) -3，-1， (2) 0，5, 【设计意图】 理解定义并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。(4)小结归纳，拓展深化.通过本节课的学习，你学到了那些知识？.你又掌握了哪些学习方法？.课后作业：习题1.1组第1题 质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率. 【设计意图】让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础通过回顾知识，达到拓展深化