1、第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学13.2 函数的极值与导数第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学1掌握极值的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求一些函数的极大值和极小值第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学本节重点：函数极值的概念与求法本节难点：函数极值的求法第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学1极值点与极值(1)极小值与极小值点(对可导函数)如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：f(a)f(x
2、0)(f(x0)表示f(x)在xa附近的函数值)；f(a)；在xa附近的左侧f(x)0，函数单调递；在xa附近的右侧f(x)0，函数单调递0增第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学(2)极大值与极大值点(对可导函数)如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：f(b)f(x0)(f(x0)表示f(x)在xb附近的函数值)；f(b)；在xb附近的左侧，f(x)0，函数单调增；在xb附近的右侧，f(x)0，函数单调极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质0f(x)(或f(0)0，当y0时，f(x)0，因此yx
3、3在(，)上是增函数，因为单调函数没有极值，所以yx3在x0处取不到极值第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学点评(1)f(x0)0是函数yf(x)在xx0处有极值的必要条件而不是充分条件，如果再加上x0附近导数的符号相反，才能判定在xx0处取得极值(2)在区间上的单调函数是没有极值的，像这样的重点结论可记熟第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学2求可导函数极值的基本步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程f(x)0的全部实根；(4)检查f(x)在方程f(x)0的根左、右两侧值的符号，如果左正右负(或左负右正)，那么f(x)在这个根处取得极大值(或极小值)总
4、之，求可导函数的极值的核心是：解方程f(x)0；列表；模拟图象；确定极大值或极小值第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学例3已知f(x)ax5bx3c在x1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值分析本题的关键是理解“f(x)在x1处的极大值为4，极小值为0”的含义即x1是方程f(x)0的两个根且在根x1处f(x)取值左右异号第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学解析f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意，f(x)0应有根x1，故5a3b，于是f(x)5ax2(x21)(1)当a0时，x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)y000y极大值无极值极小值第一章
5、导数及其应用(选修2-2)人教A版数学点评 紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学例4求函数f(x)x33x22在(a1，a1)内的极值(a0)解析由f(x)x33x22得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在
6、(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学点评 判断函数极值点的注意事项(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间(a，b)上的单调函数没有极值(3)导数不存在的点也有可能是极值点，如f(x)|x|在x0处不可导，但由图象结合极小值定义知f(x)|x|在x0处取极小值(4)在函
7、数的定义区间内可能有多个极大值点或极小值点，且极大值不一定比极小值大第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学(5)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程f(x)0的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然(6)极值情况较复杂时，注意分类讨论第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学已知函数f(x)x33ax1，a0(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极大值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围分析本小题主要考查函数、导数的应用等基础知识，考查分类整合思想、推理和运算能力第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学解析(1)f
8、(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，f(x)的单调增区间为(，)第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)191，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1)第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学一、选择题1若函数yf(x)是定义在R上的可导函数，则f(x0)0是x0为函数yf(x)的极值点的()A充
9、分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析如yx3，y3x2，y|x00，但x0不是函数yx3的极值点第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学2函数yx31的极大值是()A1B0C2D不存在答案D解析y3x20在R上恒成立，函数yx31在R上是单调增函数，函数yx31无极值第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学3三次函数当x1时，有极大值4；当x3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是()Ayx36x29xByx36x29xCyx36x29xDyx36x29x答案B解析适合题意的函数满足f(1)4，排除A、C、D.第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学二、填空题4若函数f(x)x3ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是_答案a0解析f(x)3x2a由题设条件知f(x)0应有两个不同实数根，a0.第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学5若x2是函数f(x)x(xm)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为_答案32解析f(x)(xm)22x(xm)3x24mxm2(xm)(3xm)
