1、第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学13导数在研究函数中的应用13.1 函数的单调性与导数第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会用导数法求函数的单调区间第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学本节重点：利用导数研究函数的单调性本节难点：用导数求函数单调区间的步骤第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学1函数yf(x)在区间(a，b)内的单调性与导数的关系如果f(x)0
2、，那么函数yf(x)在这个区间内；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内为2求函数单调区间的步骤(1)确定f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(或f(x)0)解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应区间上是；当f(x)0时，f(x)在相应区间上是单调递增单调递减常数函数增函数减函数第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学解析(1)函数f(x)的定义域为Rf(x)3x23，令f(x)0，则3x230.即3(x1)(x1)0
3、，解得x1或x1.函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)令f(x)0，则3(x1)(x1)0，解得1x1.函数f(x)的单调递减区间为(1,1)第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学点评 求函数单调区间时需注意：1步骤：第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学2含有参数的函数求单调区间时注意正确运用分类讨论思想3如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学例3 已知x1，求证：xln(1x)第一章导数及其应用(选修2-2)人教
4、A版数学点评 此类题的解题步骤一般是：首先构造函数，然后再采用求导的方法证明利用函数的单调性证明不等式也是证明不等式常用的方法第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学例4已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数，求t的取值范围分析由向量的数量积和运算法则求函数f(x)的解析表达式，再f(x)0在(1,1)上恒成立，求出t的范围第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学解析解法1：f(x)abx2(1x)t(x1)x3x2txtf(x)3x22xt函数f(x)在(1,1)上是增函数，f(x)0在x(1,1)上恒成立3x22xt0在(1,1)上恒
5、成立即t3x22x在(1,1)上恒成立令g(x)3x22x，x(1,1)第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学故要使t3x22x在区间(1,1)上恒成立，只需t5，即所求t的取值范围为：t5.解法2：依题意，得f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txtf(x)3x22xt函数f(x)在区间(1,1)上是增函数，f(x)0对x(1,1)恒成立又f(x)的图象是开口向下的抛物线当且仅当f(1)t10，且f(1)t50时，即t5时，f(x)在区间(1,1)上满足f(x)0第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学使f(x)在(1,1)上是增函数故t的取值范围是t5.点评已知函数的单调性，确
6、定字母的取值范围是高考考查的重点内容，解决这类问题的方法主要有两种，其一，转化为函数求最值，其二，若能比较容易求出函数的单调区间时，可利用子区间来解决特别注意的是，若导函数为二次函数时，也可借助图象，利用数形结合思想来解决，如上例中的解法2.第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学一、选择题1函数yx42x25的单调减区间为()A(，1和0,1B1,0和1，)C1,1D(，1和1，)答案A解析y4x34x令y0，即4x34x0解得x1或0 x0，且f(a)0，函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，f(x)f(a)0.第一章导数及其应用(选修2-
7、2)人教A版数学答案 4解析因为f(x)x23xa.令x23xa0，由题意知x23xa0的解集恰为1,4，则由韦达定理知a144.第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学三、解答题6已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明f(x)x3ax1的图象不可能总在直线ya的上方第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学解析(1)由已知f(x)3x2a，f(x)在(，)上是单调递增函数，f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立3x20，只需a0，又a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，a0.(2)由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2，在x(1,1)恒成立1x1，3x23，只需a3.第一章导数及其应用(选修2-2)人教A版数学当a3时，f(x)3(x21)，在x(1,1)上，f(x)0，即f(x)在(1,1)上为减函数，a3.故存在实数a3，使f(x)在(1,1)上单调递减(3)证明：f(1)a2a，f(x)的图象不可能总在直线ya的上方
