1、26数列求和【学习目标】1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式2会用错位相减法、裂项相消法求一些简单数列的前 n 项和1等差、等比数列的求和(1)等差数列an的求和公式为_(2)等比数列an的求和公式为_2一般数列求和的常用方法(1)裂项相消法：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和(2)错位相减法：给 Sna1a2an 两边同乘一个适当的数或式子，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n 项和 Sn.一般适应于数列anbn的前 n 项求和，其中an成等差数列，bn成等比数列(3)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(4)倒
2、序相加法：如等差数列前 n 项和公式的推导B【问题探究】1当数列an是一个等差数列或等比数列时，用什么方法求和？答案：公式法2等差数列的求和公式是用什么方法推导出来的？等比数列呢？答案：等差数列的求和公式是用倒序相加法推导出来的，等比数列的求和公式是用错位相减法推导出来的题型 1 公式法求和【例 1】已知在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值解：(1)设等差数列an的公差d，则ana1(n1)d，由题设，得a33a12d12d.所以d2.an1(n1)(2)32n.所以k22k350.解得k7或k5.因为kN*，所以
3、k7.【变式与拓展】1求和：2223242n3_.2n44题型 2 分组法求和【例 2】设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24.(1)求an的通项公式；(2)设bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列anbn的前 n 项和 Sn.若一个数列是由等比数列和等差数列组成，则求和时，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说的分组求和解：(1)设q为等比数列an的公比，则由a12，a3a24，得2q22q4，即q2q20.解得q2或q1(舍去)所以q2.所以an的通项公式为an22n12n(nN*)【变式与拓展】2(2012年广东韶关二模)已知等比数列an的前n项和为Sn，a11，
4、且S1，2S2，3S3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bnann，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设数列an的公比为q，若q1，则S1a11,2S24a14,3S39a19.但S13S31022S2，与已知矛盾，故q1.且S1，2S2，3S3成等差数列，得S13S322S2，题型 3 裂项相消法求和在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项则后面也剩多少项常见的拆项公【变式与拓展】3(2013年大纲)在等差数列an中，a74，a192a9，(1)求an的通项公式；题型 4 错位相减法求和【例4】求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1(x0)解：当x1
5、时，Sn135(2n1)n2；当x1时，Sn13x5x27x3(2n1)xn1，xSnx3x25x37x4(2n3)xn1(2n1)xn.【变式与拓展】4设数列an的前 n 项和为 Sn2n2，bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1.(1)求数列an和bn的通项公式；解：(1)当n1时，a1S12；当n2时，anSnSn12n22(n1)24n2.故数列an的通项公式为an4n2，即数列an是首项a12，公差d4的等差数列易错分析：本题的处理易忽略已知条件 an0 而导致解答错误，因而在审题的时候要仔细认真项和为Sn，且210S30(2101)S20S100.(1)求an的通项公式；(2)求nSn的前n项和Tn.解：(1)由210S30(2101)S20S100，得210(S30S20)S20S10，即210(a21a22a30)a11a12a20.可得210q10(a11a12a20)a11a12a20.方法规律小结对于数列的求和问题，常用的方法有三种，如下：(1)公式法：对于等差数列和等比数列的求和，可运用其前n 项和公式(2)裂项相消法：把通项分裂成两项之差，达到项相互抵消(3)错位相减法：有的数列既不是等差数列，也不是等比数列，但通过适当的变换，可以化成等差数列或等比数列的求和问题来解决
