2014年数学（人教A版）必修2课件：2.ppt

1、23.3直线与平面、平面与平面垂直的性质【学习目标】1掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理2能运用性质定理解决一些简单问题3了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系1线面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线_平行简记：线面垂直线线平行练习 1：已知 b平面，a，则直线 a 与直线 b 的位置关系是()BAabBabC直线 a 与直线 b 垂直相交D直线 a 与直线 b 垂直且异面2面面垂直性质定理(1)定理一：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面_垂直(2)定理二：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个

2、_平面内练习 2：下面四个命题，其中真命题的个数为()如果直线 l 与平面内的无数条直线垂直，则 l；如果直线 l 与平面内的一条直线垂直，则 l；如果直线 l 与平面不垂直，则直线 l 和平面内的所有直线都不垂直；如果直线 l 与平面不垂直，则平面内也可以有无数条直线与直线 l 垂直A1 个B2 个C3 个D4 个A【问题探究】1过平面外一点可以作几条直线垂直于这个平面答案：一条2垂直于同一个平面的两个平面平行吗？答案：不一定，相交或平行都有可能题型 1 直线与平面垂直的性质定理的简单应用【例 1】如图 2-3-9，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC6

3、0，PA ABBC，点 E 是 PC 的中点证明：图 2-3-9(1)CDAE；(2)PD平面 ABE.思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直要证明线面垂直，则先证明直线垂直于平面内的两条相交直线证明：(1)在四棱锥 P-ABCD 中，因为 PA 底面 ABCD，CD平面 ABCD，故 PA CD.又因为 ACCD，PA ACA，所以 CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，所以 CDAE.(2)由 PA ABBC，ABC60，得ABC 是等边三角形，故 ACPA.因为点 E 是 PC 的中点，所以 AEPC.由(1)知：AECD，且 PCCDC，所以 AE平

4、面 PCD.而 PD平面 PCD，所以 AEPD.又因为 PA 底面 ABCD，所以 PA AB.由已知，得 ABAD，且 PA ADA，所以 AB平面 PAD，故 ABPD.又因为 ABAEA，所以 PD平面 ABE.从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用【变式与拓展】1如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两边)C不能保证该直线与平面垂直的是(ABCD题型 2 平面与平面垂直的性质定理的简单应用【例 2】如图 2-3-10，在三棱锥S-ABC 中，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC.求证：ABBC.图 2-

5、3-10证明：作 AHSB 于点 H.平面 SAB平面 SBC，AH平面 SBC.AHBC.又SA平面 ABC，SABC.又AHSAA，BC平面 SAB.BCAB.面面垂直线面垂直线线垂直【变式与拓展】2如图 2-3-11，四棱锥 V-ABCD 的底面为矩形，侧面 VAB底面 ABCD，且 VB平面 VAD.求证：平面 VBC平面 VAC.图 2-3-11证明：四边形 ABCD 为矩形，BCAB.又面 VAB面 ABCD，面 VAB面 ABCDAB，BC面 VAB.BCVA.VB面 VAD，VBVA.VBBCB，VA面 VBC.又VA面 VAC，面 VBC面 VAC.题型 3 面面垂直的综合应

6、用【例 3】如图 2-3-12，已知矩形 ABCD，过点 A 作 SA平面 AC，AESB 于点 E，过点 E 作 EFSC 于点 F.(1)求证：AFSC；(2)若平面 AEF 交 SD 于点 G，求证：AGSD.图 2-3-12SABC.四边形 ABCD 是矩形，ABBC.BC平面 SAB.又AE平面 SAB，BCAE.又SBAE，AE平面 SBC.AESC.又EFSC，SC平面 AEF.AFSC.证明：(1)SA平面 AC，BC平面 AC，(2)SA平面 AC，DC平面 AC，SADC.又ADDC，DC平面 SAD.又AG平面 SAD，DCAG.又由(1)有 SC平面 AEF，AG平面

7、AEF，SCAG，且 SCDCC.AG平面 SDC.AGSD.【变式与拓展】3已知 PA 矩形 ABCD 所在平面，平面 PDC 与平面 ABCD成 45角，M，N 分别为 AB，PC 的中点求证：平面 MND平面 PDC.证明：如图 D32，设点 E 为 PD 中点，连接 AE，EN，图 D32M，N 分别为 AB，PC 中点，四边形 AMNE 为平行四边形MNAE.PA 矩形 ABCD 所在的平面，PA DC，PA AD.又DCAD，DC平面 PAD.而 AE平面 PAD，DCAE，DCPD.PDA 是二面角 P-DC-A 的平面角PDA45，又 PA AD，APD45，PAD 是等腰直角

8、三角形点 E 为 PD 的中点，AEPD.又DCAE，AE平面 PDC.又MNAE，MN平面 PDC.平面 MND平面 PDC.【例 4】证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面易错分析：找不准辅助线，无从下手证法一：如图 D29，在内取一点 P，作PA 垂直与的交线于点 A，再作 PB 垂直与的交线于点 B，则 PA，PB.l，lPA，lPB.与相交，PA 与 PB 相交又PA，PB，l.图 D29图 D30图 D31证法二：如图 D30，在内作直线 m 垂直于与的交线，在内作直线 n 垂直于与的交线，m，n.mn.又 n，m.ml.l.证法三：如图 D31，在 l 上取一点 P，过点 P 作的垂线 l，但l，l 与 l重合l.方法规律小结1运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直2空间三种垂直的转化证明是立体几何的核心，在证明问题时，转化要有理有据，不能主观臆断，要有目标地进行转化.