2014年数学理（福建用）配套课件：第五章 第四节数 列 求 和.ppt

1、第四节数 列 求 和1.公式法(1)使用已知求和公式求和的方法.(2)数列求和常用公式：等差数列前n项和公式Sn=_=_等比数列前n项和公式Sn=前n个正整数之和1+2+n=_前n个正奇数之和1+3+5+(2n-1)=_前n个正整数平方和12+22+n2=前n个正整数立方和13+23+n3=n22.裂项相消法把数列的通项分解为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法.3.错位相减法(1)适用的数列：anbn，其中数列an是公差为d的等差数列,bn是公比为q1的等比数列.(2)方法：设Sn=a1b1+a2b2+anbn,则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1，-得：

2、(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1，就转化为根据公式可求的和.4.其他求和方法名称含义简单示例分解法分解为基本数列求和an=2n+(2n-1)，求Sn分组法分为若干组整体求和an=(-1)nn,求S2n倒序相加法把求和式倒序后两和式相加函数f(x)图象关于点(1,1)对称，求f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式较为合理.()(2)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和()(3)当n2时，()(4)求Sn=a+2a2+3a3+nan之

3、和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()(5)如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm=mSk.()(6)如果数列an是公差d0的等差数列，则()【解析】(1)正确.根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知.(2)正确.根据等比数列的求和公式可知.(3)正确.直接验证或倒推可知正确.(4)错误.需要分a=0,a=1，以及a0且a1三种情况求和.(5)正确.根据周期性可得.(6)正确.直接验证或倒推可得.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1=1，则S4=()(A)7 (B

4、)8 (C)15 (D)16【解析】选C.4a1，2a2，a3成等差数列，4a1+a3=4a2，即4a1+a1q2=4a1q,q2-4q+4=0,q=2,S4=15.2.sin21+sin22+sin23+sin288+sin289=()(A)44.5 (B)45 (C)(D)89【解析】选A.设S=sin21+sin22+sin23+sin288+sin289,则S=sin289+sin288+sin287+sin22+sin21,即S=cos21+cos22+cos23+cos288+cos289,与第一个式子相加，得2S=89，所以S=44.5.3.等差数列an的通项公式为an=2n+1

5、，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为()(A)70 (B)75 (C)100 (D)120【解析】选B.因为等差数列an的通项公式为an=2n+1，所以Sn=n2+2n,所以3+4+5+1275.4.数列an的通项公式an=2n-(-1)n，设此数列的前n项和为Sn，则S10S21S100的值是()(A)9 746 (B)4 873 (C)9 736 (D)9 748【解析】选A.当n为奇数时，an=2(n+1)；当n为偶数时，an=2(n-1)，故有故S10S21S100=9 746.5.一个数列an，当n是奇数时，an=5n+1；当n为偶数时，则这个数列的前2m项的和是_.【解析】所有

6、奇数项的和所有偶数项的和两部分相加即得.答案:2m+1+5m2+m-2考向 1公式法求和【典例1】解答下列各题：(1)已知数列an的前n项和Sn=32n-n2，求数列|an|的前n项和Tn.(2)已知数列an的通项公式是an=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3，求其前n项和Sn.【思路点拨】(1)根据数列an的前n项和可得数列an的通项公式，根据求出的通项公式把数列|an|分段求解.(2)由于存在(-1)n，按照n为奇数和偶数分别求解.【规范解答】(1)当n=1时，a1=S1=31，当n2时，an=Sn-Sn-1=33-2n，an=33-2n(nN*)，即数列a

7、n是公差为-2，首项为31的等差数列，令an=33-2n0，则n16，故当0n16时，Tn=Sn=32n-n2；而当n17时，Tn=S16-(a17+a18+an)=-Sn+2S16，即Tn=-32n+n2+2(3216-162)=n2-32n+512，(2)Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+-1+2-3+(-1)nnln 3,所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，【拓展提升】几类可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解.(2)奇数项和偶数项分别构成等

8、差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式.(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列乘以(-1)n.【变式训练】解答下列各题：(1)在等差数列an中，a1=-60，a17=-12,求其前30项的绝对值之和.(2)已知数列an为等比数列，a2=6,a5=162.设Sn是数列an的前n项和，求Sn.【解析】(1)设等差数列的前n项和为Sn，前n项的绝对值之和为Sn，由-60+16d=-12得d=3，an=-60+3(n-1)=3n-63，由此可知当n20时，an1时，an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1)，则a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2)，c=

9、2.a2=4，即k(c2-c1)=4，解得k=2，an=2n(n1)，当n=1时，a1=S1=2，综上所述an=2n(nN*).(2)nan=n2n，则Tn=2+222+323+n2n2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1-得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1，Tn=2+(n-1)2n+1.1.若数列an满足(nN*，d为常数)，则称数列an为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+b9=90，则b4b6的最大值是()(A)10 (B)100 (C)200 (D)400【解析】选B.由已知得bn为等差数列，且所以当且仅当b4=b6时等号成立.2.已知数列an满足且对任意的正整数m,n都有am+n=aman，若数列an的前n项和为Sn，则Sn=_.【解析】对m=1等式am+n=aman也成立，即所以数列an是首项为公比为的等比数列，所以答案: