1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题概念使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的_特点(1)能判断真假.(2)_分类(1)_.(2)_陈述句陈述句真命题假命题2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系:若q,则p若p,则q若q,则p(2)四种命题中的等价关系:原命题等价于_,否命题等价于_,在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或4.逆否命题逆命题3.充要条件(1)相关概念:若pq,则p是q的_条件,q是p的_条件p是q的_条件pq且q pp是q的_条件p q且qpp是q的_条件pqp是q的_条件p q且q p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要(2)集合
2、与充要条件:p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分不必要条件A是B的_p是q的必要不充分条件B是A的_p是q的充要条件_p是q的既不充分也不必要条件A,B互不_真子集真子集A=B包含判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)若原命题“若p,则q”为真,则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数是1.()(2)已知命题“若p成立且q成立,则r成立”,则其逆否命题是“若r不成立,则p不成立且q不成立”.()(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()(4)已知集合A,B,则AB=AB的充要条件是A=B.()【解析】(1)错
3、误.原命题为真时,如果逆命题也为真,则否命题、逆否命题均为真.(2)错误.“p成立且q成立”的否定是“p不成立或者q不成立”.(3)正确.根据命题与其逆否命题等价可得.(4)正确.充分性是显然的,只要结合Venn图即可判定必要性.答案:(1)(2)(3)(4)1.有以下命题:集合N中最小的数是1;若-a不属于N,则a属于N;若aN,bN,则a+b的最小值为2;x2+1=2x的解可表示为1,1.其中真命题的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选A.假命题,集合N中最小的数是0;假命题,如a=;假命题,如a=0,b=0;假命题,1,1与集合元素的互异性矛盾.2.有以下命题:“若x+y
4、=0,则x,y互为相反数”的逆命题;“全等三角形的面积相等”的否命题;“若q1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题为()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,为真命题;的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”,为假命题;的逆否命题是“若x2+2x+q=0没有实根,则q1”,为真命题;的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,为假命题.3.命题“若x21,则-1x1”的逆否命题是()(A)若x21,则x1或x-1(B)若-1x1,则x21或x1(D)若x1或x-1,则x21【解析】选D
5、.其逆否命题是:若x1或x-1,则x21.4.已知p:-4k0,q:函数y=kx2-kx-1的值恒为负,则p是q成立的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.-4k0k0,=k2+4k0;函数y=kx2-kx-1的值恒为负,不一定有-4k0且b0”是“a+b0且ab0”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选C.条件显然是充分的;当a+b0且ab0时,根据ab0可得a,b同号,在a+b0下,a,b同号只能同时大于零,条件是必要的.考向 1命题及其相互关系【典例1】(1)(201
6、2湖南高考)命题“若=,则tan=1”的逆否命题是()(A)若 ,则tan1(B)若=,则tan1(C)若tan1,则(D)若tan1,则=(2)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()(A)若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数(B)若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数(C)若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数(D)若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数【思路点拨】(1)把否定的结论作条件、否定的条件作结论即可得出.(2)条件的否定作条件、结论的否定作结论即可得出.【规范解答】(1)选C.原命题的逆否命题是“若tan1,则 ”,故选C.(2)选B.条
7、件的否定是“f(x)不是奇函数”,结论的否定是“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”.【拓展提升】1.一些词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于2.否定的方法在根据原命题构造其否命题和逆否命题时,首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚.注意其中易混的关键词,如“都不是”和“不都是”,其中“都不是”是指的一个也不是,“不都是”指的是其中有些不是.【变式训练】已知：命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是()(A)否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0
8、,+)上是减函数，则m1”，是真命题(B)逆命题是“若m1，则f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数”，是假命题(C)逆否命题是“若m1，则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数”，是真命题(D)逆否命题是“若m1，则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增函数”，是真命题【解析】选D.f(x)=ex-m0在(0,+)上恒成立，即mex在(0,+)上恒成立，故m1，这说明原命题正确；反之若m1，则f(x)0在(0,+)上恒成立，故逆命题正确.增函数的否定是“不是增函数”.结合选项知选D.考向 2 充分条件、必要条件的判断【典例2】(1)(2012北京高考)设a,bR,“a=0”
9、是“复数a+bi是纯虚数”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(2)(2012天津高考)设R,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【思路点拨】(1)利用纯虚数的定义及充分条件、必要条件的概念进行判断即可.(2)根据三角函数性质,条件的充分性是显然的,只要根据偶函数的定义,在函数f(x)=cos(x+)(xR)是偶函数的条件下求出值,然后根据必要条件的概念判断即可.【规范解答】(1)选B.当a=0时,若b=0,则a+bi为实数
10、;当a+bi为纯虚数时,a=0,b0.所以“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.(2)选A.方法一:=0时,f(x)=cosx,此时f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)对任意实数x恒成立,函数f(x)是偶函数,即=0f(x)=cos(x+)为偶函数;当f(x)=cos(x+)为偶函数时,根据三角函数的诱导公式,只要=k(kZ),则f(x)=cosx或者f(x)=-cosx,此时函数f(x)是偶函数,但=0只是其中的一个值,所以f(x)=cos(x+)为偶函数时,不一定等于零.所以“=0”是“函数f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的充分而不必要条件.方法二:=
11、0f(x)=cos(x+)为偶函数同方法一;当f(x)=cos(x+)为偶函数时,根据偶函数的定义,对任意实数x恒有f(-x)=f(x),即cos(-x+)=cos(x+)对任意实数x恒成立,即cosxcos+sinxsin=cosxcos-sinxsin对任意实数x恒成立,即sinxsin=0对任意实数x恒成立,其充要条件是sin=0,即=k(kZ),即函数f(x)=cos(x+)为偶函数的的集合是|=k,kZ.由于=0只是这个集合中的一个元素,故“=0”是“函数f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的充分而不必要条件.【拓展提升】充要条件的三种判断方法(1)定义法:即根据pq,qp进行
12、判断.(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的充要条件转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy1”是“x1或者y1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.【变式训练】(1)若非空集合A,B,C满足AB=C,且B不是A的子集,则()(A)“xC”是“xA”的充分不必要条件(B)“xC”是“xA”的必要不充分条件(C)“xC”是“xA”的充要条件(D)“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件(2)“m ”是“一元二次方程x2+x+m=
13、0有实数解”的()(A)充分不必要条件(B)充要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件【解析】(1)选B.AB=C,且B不是A的子集,说明集合CA.又AAB=C,即集合AC,这说明集合A的元素都在集合C中,但集合C中的元素至少有一个不在集合A中,结合选项可知正确选项为B.(2)选A.一元二次方程x2+x+m=0有实数解时m满足1-4m0,即m ,故m m ;反之不成立,所以“m ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件.考向 3 充分条件、必要条件的探究与证明【典例3】已知集合M=x|x5,P=x|(x-a)(x-8)0.(1)求实数a的取值范围,使它成为MP=
14、x|5x8的充要条件.(2)求实数a的一个值,使它成为MP=x|5x8的一个充分不必要条件.【思路点拨】(1)分充分性和必要性两个方面求解证明.(2)只要在(1)中求出的实数a的取值范围内找到一个值,破坏其中的必要性即可.【规范解答】(1)由MP=x|5x8,结合集合M,P可得-3a5.故-3a5是MP=x|5x8的必要条件.下面证明这个条件也是充分的.证明:当-3a5时,集合P=x|ax8,集合M=x|x5,故MP=x|5x8.综上可知,-3a5是MP=x|5x8的充要条件.(2)求实数a的一个值,使它成为MP=x|5x8的一个充分不必要条件,就是在集合a|-3a5中取一个值,如取a=0,此
15、时必有MP=x|5x8;反之,MP=x|5x8未必有a=0,故a=0是MP=x|5x8的一个充分不必要条件.【互动探究】本例中条件不变,求实数a的取值范围,使它成为MP=x|5x8的一个必要不充分条件.【解析】求实数a的取值范围,使它成为MP=x|5x8的一个必要不充分条件就是另求一个集合Q满足所述条件,故a|-3a5是集合Q的一个真子集.当a|a5时,未必有MP=x|5x8,但是MP=x|5x8时,必有a5,故a|a5是所求的一个必要不充分条件.【拓展提升】充要条件的证明方法在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明的.这类试题一般有
16、两种设置格式.(1)证明:A成立是B成立的充要条件,其中充分性是AB,必要性是BA.(2)证明:A成立的充要条件是B,此时的条件是B,故充分性是BA,必要性是AB.【提醒】在分充分性与必要性分别进行证明的试题中,需要分清充分性是什么,必要性是什么;在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明.【变式备选】已知ab0,证明a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.【证明】先证充分性:若a3+b3+ab-a2-b2=0,则(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,所以(a+b-1)(a-)2+=0,由ab0得a+b-1=0,所以a+b=1成立,充分性得证.再证必要性:若a+b=1,则
17、由以上对充分性的证明知a3+b3+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,故必要性得证.综上知,a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.【易错误区】混淆充分性与必要性致误【典例】(2013太原模拟)若0 xx”的()(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【误区警示】根据题目中的两个不等式能否相互推出以及充分条件、必要条件的概念作结论时,混淆充分条件、必要条件的概念致误.【规范解答】选A.当0 x 时,0sinx1,“”等价于“xsin2xx”等价于“xsinx1”,“xsin2x1”是“xsinx0且a1,则“函
18、数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.因为函数f(x)=ax在R上是减函数,所以0a0,即a2.转化为若0a1,则a2,而若a2推不出0ab成立的充分不必要条件是()(A)ab+1(B)ab-1(C)a2b2(D)a3b3【解析】选A.题意为由选项中的不等式可得ab,ab得不出选项中的不等式.选项A中,ab+1b,反之ab推不出ab+1;选项B中,abb-1,反之ab-1推不出ab,为必要不充分条件;选项C为既不充分也不必要条件;选项D为充要条件.5
19、.(2013漳州模拟)命题“tan x=0”是命题“cos x=1”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选B.若tan x=0，则x=k,kZ,此时cos x=1,若cos x=1,则x=2k，kZ,此时tan x=0,故“tan x=0”是“cos x=1”的必要不充分条件.1.已知命题“函数f(x),g(x)定义在R上,h(x)=f(x)g(x),如果f(x),g(x)均为奇函数,则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选C.由f(x),g(x)均为奇函数可
20、得h(x)=f(x)g(x)为偶函数,反之则不成立,如h(x)=x2是偶函数,但函数f(x)=,g(x)=ex都不是奇函数,故逆命题不正确.根据命题的等价关系其否命题也不正确,即只有原命题和逆否命题正确.故选C.2.设M,N是两个集合,则“MN”是“MN”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选B.方法一:MN时,显然M,N均不是空集,此时一定有MN,故条件是必要的;但当MN时,集合M,N未必有公共元素,故条件不是充分的.方法二:逆否命题是:若MN=,则MN=.当MN=时,M,N可以是空集,也可以不是空集,所以MN不一定是空集,故条件不充分;当MN=时,M=N=,所以一定有MN=,故条件是必要的.
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有