1、第一章 常用逻辑用语学.科.网12 充分条件与必要条件12.2 充要条件 1.会判断一个命题的充要条件；2会求一个命题的充要条件；3会证明p是q的充要条件.新 知 视 界 1充要条件 一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件 2判断命题的充要关系的方法(1)定义法(2)等价法：即利用AB与綈B綈A；BA与綈A綈B；AB与綈A綈B的等价关系对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件
2、3证明p是q的充要条件 证明：(1)充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.(2)必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p.所以p是q的充要条件 尝 试 应 用 1“|x|y|”是“xy”的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：若x1，y1，则|x|y|，但xy；而xy|x|y|.答案：B 2“bc0”是“二次函数yax2bxc(a0)经过原点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：bc0yax2，二次函数一定经过原点；二次函数yax2bxc经过原点c0，b不一定等于0，故选A
3、.答案：A 3集合MNN是MNM的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：MNNNMMNM.答案：C 4不等式x23x20成立的充要条件是_ 解 析：x2 3x 20(x 1)(x2)01x2.答案：1x2 5求关于x的二次方程x2mxm240有两个不相等的正实根的充要条件zxxkw 典 例 精 析 类型一充分条件、必要条件、充要条件的判断 例1在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由(1)A：|p|2，pR，B：方程x2pxp30有实根；(2)A：圆x2y2r2与直线axbyc0相切，B：c2(a2b2)r2.分析A是条件，B是结论 若AB，则A
4、是B的充分条件，若BA，则A是B的必要条件，借助方程和不等式及解析几何的知识来判断 点评 对于涉及充要条件的判断问题，必须以准确、完整地理解充要条件的概念为基础，有些问题需要转化为等价命题后才容易判断 类型二 充分、必要条件的传递性 例2 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？分析 解答此类题目最好根据题目叙述，画出关系简图，进行解答 解 根据题目叙述，画出p、q、r、s的结构简图如图1所示 迁移体验2 设甲、乙、丙三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是必要条件，那么()A丙
5、是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C丙是甲的充要条件 D丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案：Azxxkw 类型三 充要条件的证明 例3求证关于x的方程ax2bxc0，(a0)有一正根和一负根的充要条件是ac0.分析(1)先分清条件和结论，然后证明充分性和必要性(2)本题中的条件是 ac0，所以x1与x2同号 又x1x2m20，所以x1，x2同为负实数，即x2mx10有两个负实根的充分条件是m2.类型四 充要条件的探求 例4已知数列an的前n项和Snanb(a0，且a1)，求数列an是等比数列的充要条件 分析可以先求必要条件，再求充分条件，注意
6、等比数列的定义及性质的应用 解(1)先求必要条件：当n1时，a1S1ab，当 n2时，an Sn Sn 1(a 1)an1(a0，且a1)，数列an为等比数列，公比为a，且a1ab.b1，即an是等比数列的必要条件是b1.(2)再求充分条件：当b1时，Snan1(a0，且a1)，当n2时，anSnSn1(a1)an1.当n1时，a1S1a1，满足上式 an(a1)an1(a0，a1，n1)迁移体验4(1)平面向量a，b共线的充要条件是()Aa，b方向相同 Ba，b两向量中至少有一个零向量 C存在R，ab D存在不全为零的实数1、2，1a2b0(2)圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是_zxxkw
