1、自主广场我夯基我达标1.|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为( )A.平行 B.垂直C.夹角为 D.不平行也不垂直思路解析：因为(a+b)(a-b)=a2-b2=0，所以(a+b)(a-b).答案：B2.若向量b与向量a=（1，-2）的夹角是180，且|b|=，则b等于( )A.(-3,6) B.(3,-6)C.(6,-3) D.(-6,3)思路解析：由题意b与a共线，在再结合|b|=，列出关于b的坐标的方程即可解出.方法一：设b=(-1,2)，且0，有(-)2+(2)2=()2b=(-3，6).方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反.故可由方向相反排除B，C；由共线可
2、知b=-3a.答案：A3.已知向量a=(cos,sin)，向量b=(,-1)，则|2a-b|的最大值和最小值分别是( )A.,0 B.4, C.16，0 D.4，0思路解析：列出关于模的表达式，考查得到的函数即可得到答案.ab=2sin(-),|2a-b|2=4a2-4ab+b2=8-8sin(-)，|2a-b|的最大值为4，最小值为0.答案：D4.在ABC中，A=90，=(k,1),=(2,3),则k的值是_-.思路解析：由与垂直，列出关于k的方程，解方程即可得到答案.A=90，.=2k+3=0.k=.答案：5.向量|a|=9，|b|=12，则|a+b|的最大值和最小值分别为_.思路解析：由
3、|a|-|b|a+b|a|+|b|可得结果.答案：21和36.给出下列命题：在ABC中，若0，则ABC是钝角三角形；ABC是直角三角形=0；ABC是斜三角形的必要不充分条件是0.其中，正确命题的序号是_思路解析：利用数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角还是钝角.0，B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.推不出ABC是锐角三角形.故命题是假命题.0，=-0.B是钝角，因而ABC是钝角三角形.故命题是真命题.ABC是直角三角形，则直角可以是A，也可以是B、C.而=0仅能保证B是直角.故命题是假命题.一方面，当ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故0；另一方面，由0只能得出B不是
4、直角，但A或C中可能有一个直角.故命题是真命题.答案：我综合我发展7.在ABC中，=（2，3），=（1,k)，且ABC中的一个内角为直角，求k的值.思路分析：注意到ABC中的哪一个内角为直角不明确，因此要分类讨论.解：(1)当A=90时，=0.所以21+3k=0，即k=-.(2)当B=90时，=-=(1-2,k-3),=0.所以2（-1）+3（k-3）=0，k=.(3)当C=90时，=0.所以-1+k（k-3）=0，k2-3k-1=0，k=.故当k=-或k=或k=时，ABC为直角三角形.8.设a与b是两个互相垂直的单位向量，问当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否为60?证
5、明你的结论.思路分析：本题问“当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否为60”，可以设夹角为60，然后利用夹角公式求k，若有整数解，则求出;若没有，则不能.解：设夹角为60，|m|2=|ka+b|2=k2+1，|n|2=|a+kb|2=k2+1，mn=(ka+b)（a+kb)=2k，2k=cos60，即4k=k2+1，解得k=2，这与k为整数矛盾.m,n的夹角不能为60.9.求函数y=的最大值.思路分析：这类题一般方法无法求解，只能联想到两点间距离公式.解：设A（-2，3），B（1，2），P（x，0），则|=，|PB|，y的最大值即为|-|的最大值.由图2-4-4可知,当A、B、P三点共线时|-|有最大值，|=，图2-4-4ymax=.10.求证：x1x2+y1y2.思路分析：若令a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，可联想到x1x2+y1y2=ab，=|a|，=|b|.由此入手问题可得证.证明：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a,b的夹角为，则=|a|，=|b|,x1x2+y1y2=ab.又ab=|a|b|cos|a|b|=,x1x2+y1y2.