1、第二节函数的单调性与最值1.函数在区间上是增加（递增）的、减少（递减）的含义在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1,x2A,且x1x2，则：（1）f(x)在区间A上是增加（递增）的_.（2）f(x)在区间A上是减少（递减）的_.f(x1)f(x2)2.单调区间、单调性及单调函数（1）单调区间：如果y=f（x）在区间A上是_或是_，那么称_为单调区间.（2）单调性：如果函数y=f（x）在定义域的某个子集上是_的或是_的，那么就称函数y=f（x）在这个子集上具有单调性.（3）单调函数：如果函数y=f（x）在整个定义域内是_的或是_的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统
2、称为单调函数.增加的减少A增加减少的增加减少3函数的最值前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在MR满足条件存在x0D,使得_对于任意的xD,都有_存在x0D,使得_对于任意的xD,都有_结论M是f(x)的_值,记作ymax=f(x0)M是f(x)的_值,记作ymin=f(x0)f(x0)=Mf(x)Mf(x0)=Mf(x)M最大最小判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）函数的单调区间是(-,0)(0,+).()(2)对于函数f(x),xD,若x1,x2D且(x1-x2）f(x1)-f(x2)0,则函数f(x)在D上是增加的.()（3）函数y=|x|是R上的增函数.()（
3、4）若函数满足f(2)f(3)，则函数f(x)在2,3上是增加的.()【解析】（1）错误.当x1=-1,x2=1时,x1x2,但f(x1)f(x2),因此(-,0)(0,+)不是函数的单调区间.（2）正确.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或因此函数f(x)在D上是增加的.（3）错误.函数y=|x|在(-,0)上是减少的,在0,+)上是增加的.（4）错误.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.答案：（1）（2）（3）（4）1.如果二次函数f(x)=3x2+2(a-1)x+b在区间(-,1)上是减少的,则()（A）a=-2 （B）a=2 （C）a-2 （D）
4、a2【解析】选C.二次函数的对称轴是由题意知解得a-2.2.函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()（A）（B）f(x)(x-1)2（C）f(x)ex （D）f(x)ln(x1)【解析】选A.由题意知要求函数f(x)在(0，)上是减少的.3.函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是_.【解析】由题意知2k+10,答案：4.f(x)=x2-2x,x-2,3递增的单调区间为_,f(x)max=_.【解析】f(x)=(x-1)2-1,故f(x)递增的单调区间为1,3,f(x)max=f(-2)=8.答案：1,38考向 1 确定
5、函数的单调性或单调区间【典例1】（1）(2013西安模拟)函数f(x)=log2(x2-4)递减的单调区间为_.(2)试讨论函数在x(-1,1)上是增加的还是减少的(其中a0).【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解.(2)用定义法或导数法求解.【规范解答】(1)由x2-40得x2或x-2,即函数f(x)的定义域为(-,-2)(2,+).令t=x2-4,因为y=log2t在t(0,+)上是增加的,t=x2-4在x(-,-2)上是减少的,所以函数f(x)=log2(x2-4)递减的单调区间为(-,-2).答案：(-,-2)(2)方法一(定义法):设任意x1,x2(-1,1)且x1x2,则-1
6、x1x21,因此当a0时,f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2),此时函数在(-1,1)上是减少的;当a0时,f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2),此时函数在(-1,1)上是增加的.方法二(导数法)：当a0时,f(x)0.当a0时,f(x)在(-1,1)上是减少的;当a0时,f(x)在(-1,1)上是增加的.【互动探究】若将本例题（1）中的函数改为“”,试求函数f(x)递减的单调区间.【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+),令t=x+1,则t0.因为在t(0,+)上是减函数,t=x+1在x(-1,+)上是增函数,所以函数递减的单调区间为(-1,+).【拓展提升】1.函
7、数单调性的四种判断方法(1)定义法.(2)图像法.(3)利用已知函数的单调性.(4)导数法.2.复合函数单调性的判断方法复合函数y=f（g(x)）的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.【变式备选】用定义法判断函数在定义域上的单调性.【解析】由x2-10得x1或x-1,即函数的定义域为(-,-11,+).设x1x2,则当x1,x2(-,-1时,x1-x20,x1+x20,则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故函数在(-,-1上是减少的.当x1,x21,+)时,x1-x20,x1+x20,则f(x1)-f(x2)0,即f(x1
8、)f(x2),故函数在1,+）上是增加的.考向 2 求函数的值域或最值【典例2】(1)(2013天津模拟)设函数g(x)=x2-2(xR),则f(x)的值域是()(2)用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为_.【思路点拨】(1)明确自变量的取值范围,先求每一部分的函数值范围,再取并集求值域.(2)明确f(x)的意义,数形结合求f(x)的最大值.【规范解答】(1)选D.解xg(x)=x2-2得x2-x-20，则x-1或x2.因此xg(x)=x2-2的解为：-1x2.于是当x-1或x2时，当-1x2时，且f(-1)=
9、f(2)=0，由以上可得f(x)的值域是故选D.(2)由题意知函数f(x)是三个函数y1=2x，y2=x+2,y3=10-x中的较小者，作出三个函数在同一直角坐标系下的图像（如图实线部分为f(x)的图像），可知A（4，6）为函数f(x)图像的最高点，则f(x)max=6.答案：6【拓展提升】求函数最值的五个常用方法（1）单调性法：先确定函数是增加的，还是减少的,再求最值.（2）图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式
10、求出最值.（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【提醒】在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域.【变式训练】（1）函数在区间a,b上的最大值是1,最小值是则a+b=_.【解析】易知f(x)在a,b上是减少的,即 a+b=6.答案：6(2)设f(x)=x2-2ax(0 x1)的最大值为M(a),最小值为m(a),试求M(a)及m(a)的表达式.【解析】f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,x0,1.当a0时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0.当时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(a)=-a2.当时,M(a)=f(0
11、)=0,m(a)=f(a)=-a2.当a1时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.综上知,考向 3 函数单调性的应用【典例3】(1)（2013宿州模拟）已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减少的，且f(1-a)f(2a-1),则a的取值范围是()(A)(B)(C)(D)(0,1)（2）(2013汉中模拟)已知满足对任意x1x2,都有成立，那么a的取值范围是_.【思路点拨】(1)根据单调性列不等式组求解,注意定义域.(2)寻找f(x)是增函数满足的条件,列不等式组求解.【规范解答】(1)选C.由已知得即0a(2)对任意x1x2,都有成立,函数f(x)是R上的增函数.答案：【
12、拓展提升】1.含“f”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式（组），此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内.2.比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解.【变式训练】（1）(2013日照模拟)已知是(-,+)上的减函数,那么a的取值范围是()（A）(0,1)（B）（C）（D）【解析】选C.由题意知即（2）已知函数y=f(x)满足:f(x)=f(4-x)(xR
13、),且在2,+)上是增加的，则()（A）f(4)f(1)f(0.5)（B）f(1)f(0.5)f(4)（C）f(4)f(0.5)f(1)（D）f(0.5)f(4)f(1)【解析】选C.函数y=f(x)满足:f(x)=f(4-x)(xR),函数f(x)的图像关于x=2对称，f(1)=f(3),f(0.5)=f(3.5).又f(x)在2,+)上是增加的,f(4)f(3.5)f(3).即f(4)f(0.5)f(1).【易错误区】分段函数单调性的应用误区【典例】(2013无锡模拟)已知函数则满足不等式f(1-x2)f(2x)的x的取值范围是_.【误区警示】本题易出现以下错误：由f(1-x2)f(2x)
14、得1-x22x,忽视了1-x20导致解答失误.【规范解答】画出的图像，由图像可知,若f(1-x2)f(2x)，则即得-1x答案：【思考点评】解决分段函数的单调性问题时,应高度关注以下三个方面(1)抓住对变量所在区间的讨论.(2)保证各段上同增(减)时,要注意左、右段端点值间的大小关系.(3)弄清最终结果取并还是交.1.(2013宝鸡模拟)函数的值域是()(A)(0,1)(B)(0,1(C)0,1(D)0,1)【解析】选B.函数f(x)的定义域为R,x2+11,即函数f(x)的值域为(0,1.2.(2013汉中模拟)函数y=-(x-3)|x|递增的单调区间是()(A)(B)(C)(D)【解析】选
15、C.y=-(x-3)|x|=函数递增的单调区间是(0,).3.（2012安徽高考）若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是3,+)，则a=_.【解析】作出函数f(x)=|2x+a|的图像，根据图像可得函数的单调递增区间为即答案：-64.(2013合肥模拟)对a，bR，记函数f(x)=max|x+1|,-x2+1的最小值是_.【解析】由题意知函数f(x)是两个函数y1=|x+1|,y2=-x2+1中的较大者,作出两个函数在同一直角坐标系中的图像,则f(x)的图像是图中的实线部分,由图像易知f(x)min=0.答案：01.已知函数则“-2a0”是“f(x)在R上是增函数”的()（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=0时,是R上的增函数;当a0时,要使函数f(x)是增函数,则必须满足解得综上知,函数f(x)是增函数的充要条件是因此“-2a0”是“f(x)在R上是增函数”的必要不充分条件.2.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x-2,2的最大值等于()（A）-1 （B）1 （C）6 （D）12【解析】选C.由已知得当-2x1时，f(x)x-2，当1x2时，f(x)x32.在-2,1,(1,2是增加的,f(x)的最大值为f(2)23-26.
