1、第七章 立体几何初步第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1.简单旋转体(1)旋转体的定义一条_绕着它所在的平面内的一条_旋转所形成的曲面叫作旋转面;封闭的旋转面围成的_叫作旋转体.平面曲线定直线几何体(2)几种简单的旋转体球球的定义:以半圆的_所在的直线为旋转轴,将半圆旋转所形成的曲面叫作_._所围成的几何体叫作球体,简称_.球心、半径和直径:半圆的_叫作球心;连接球心和_上任意一点的线段叫作球的半径;连接球面上两点并且_的线段叫作球的直径.直径球面球面球圆心球面过球心圆柱、圆锥、圆台分别以矩形的_、直角三角形的_、直角梯形_所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分
2、别叫作圆柱、圆锥、圆台.一边一条直角边垂直于底边的腰2.简单多面体若干个_围成的几何体叫作多面体,其中_、_、_是简单多面体.(1)棱柱定义:两个面_,其余各面都是_,并且每相邻两个四边形的公共边都_,这些面围成的几何体叫作棱柱.平面多边形棱柱棱锥棱台互相平行四边形互相平行分类a.按侧棱与底面是否垂直:b.按底面多边形的边数:三棱柱、四棱柱、五棱柱、(2)棱锥定义:有一个面是_,其余各面是_,这些面围成的几何体叫作棱锥.正棱锥:如果棱锥的底面是_,且各侧面_,就称作正棱锥,其侧面是全等的等腰三角形,它底边上的高叫作正棱锥的斜高.分类:三棱锥、四棱锥、五棱锥、多边形有一个公共顶点的三角形正多边形
3、全等(3)棱台定义:用一个_的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫作棱台.正棱台:用_截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是全等的等腰梯形,它的高叫作正棱台的斜高.分类:三棱台、四棱台、五棱台、平行于棱锥底面正棱锥3.直观图(1)平面图形直观图的画法在已知图形中建立直角坐标系xOy,画直观图时,它们分别对应x轴和y轴,两轴交于点O,使xOy=_,它们确定的平面表示_.已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成_x轴和y轴的线段.已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中_;平行于y轴的线段,长度为_.45(或135)水平平面平行于保持原长度不变原来的(2)立体图形直观图的画法立体图形与平面
4、图形相比多了一个z轴,其直观图中对应于z轴的是_,平面xOy表示_平面,平面yOz和xOz表示_平面,平行于z轴的线段,在直观图中_和_都不变.z轴直立平行性长度水平4.三视图(1)三视图的特点:主、俯视图_;主、左视图_;俯、左视图_,前后对应.长对正高平齐宽相等(2)绘制简单组合体的三视图应注意的问题:在三视图中,可见轮廓线都用_画出,不可见轮廓线用_画出.确定主视、俯视、左视的方向时,同一物体放置的位置不同,所画的三视图_.看清简单组合体是由哪几个_组成的,并注意它们的组成方式,特别是它们的_位置.实线虚线可能不同基本几何体交线判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)有两个
5、面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱.()(3)一个棱柱至少有5个面,面数最少的一个棱锥有4个顶点,顶点最少的一个棱台有3条侧棱.()(4)用斜二测画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A=90,则在直观图中,A=45.()(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.()【解析】(1)错误.尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行.如图,该几何体并不是棱柱.(2)错误.尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三角形,但不能保证三角形具有公共顶点.(
6、3)正确.面数最少的棱柱为三棱柱,有5个面;面数最少的棱锥为三棱锥,有4个顶点;顶点最少的棱台为三棱台,有3条侧棱.(4)错误.A应为45或135.(5)错误.正方体的三视图由于正视的方向不同,其三视图的形状可能不同,圆锥的左视图与俯视图显然不相同.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.下列结论中正确的是()(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥(B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥(C)棱锥的侧棱长与底面正多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【解析】选D.当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面
7、两侧的两个三棱锥构成时,尽管各面都是三角形,但它不是三棱锥,故A错误;若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线,所得几何体就不是圆锥,故B错误;以正六边形为底面,则棱长必然要大于底面边长,故C错误,所以选D.2.用任意一个平面截一个几何体,各截面都是圆面,则这个几何体一定是()(A)圆柱(B)圆锥(C)球体(D)圆柱、圆锥、球体的组合体【解析】选C.由几何体的结构特征可知,该几何体一定是球体.3.一个几何体的主视图和左视图如图所示,则这个几何体的俯视图不可能是()【解析】选D.该几何体的主视图和左视图都是正方形,其可能为正方体、底面直径与高相等的圆柱体及底面是等腰直角三角
8、形且其腰长等于棱柱高的直三棱柱,但不可能是一个底面长与宽不相等的长方体.4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()【解析】选A.由直观图的画法规则可知,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半.5.若一个三棱柱的三视图如图所示,其俯视图为正三角形,则这个三棱柱的高和底面边长分别为,.【解析】由三视图的画法可知,该三棱柱的高为2,底面正三角形的高为2 ,则底面边长为4.答案:24考向 1空间几何体的结构特征【典例1】(1)给出下列命题:棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台;若三棱锥
9、的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;存在每个面都是直角三角形的四面体;棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是()(A)(B)(C)(D)(2)给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确命题的序号是()(A)(B)(C)(D)【思路点拨】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义或借助常见的几何模型作出判断.(2)根据母线的定义和性质作出判断.【规范解答】(1)选C.错误,因为
10、棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形;错误,必须用平行于底面的平面去截棱锥,才能得到棱台;正确,根据面面垂直的判定定理判断;正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;正确,如图所示,正方体AC1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;正确,由棱台的概念可知.因此,正确命题的序号是.(2)选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知,只有是正确的,所以选D.【拓展提升】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.(2)
11、通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.【变式训练】(1)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,是假命题的是()(A)等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等(B)等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补(C)等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆(D)等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【解析】选B.因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等,所以它的顶点在底面上的射影到底面的四个顶点的距离相等,故A,C正确,且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等,故D正确,B不正确,如底面是一个等腰梯形时结论就不成立.(2)下列命
12、题中,正确的是()(A)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱(B)侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥(C)侧面都是矩形的四棱柱是长方体(D)底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱【解析】选D.认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析,故A,C都不准确,B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故也不正确.考向 2 空间几何体的三视图【典例2】(1)(2013榆林模拟)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为()(2)(2012湖南高考)某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()(3)(2013延安模拟)如图,在
13、四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PC与底面垂直.若该四棱锥的主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形,则该四棱锥中最长的棱的长度为()(A)1(B)(C)(D)2【思路点拨】(1)根据三视图的画法规则解答,应注意实、虚线的应用.(2)可根据主视图与左视图相同逐项排除.(3)根据三视图的画法求出四棱锥PABCD中最长棱的长度.【规范解答】(1)选D.由三视图的画法规则可知,该几何体的左视图应是有一条对角线的矩形,且该对角线所对应的棱为不可见的,故应为虚线,考虑该几何体的放置方法,应选D.(2)选C.由于该几何体的主视图和左视图相同,且上部分是一个矩形,矩形中间无虚线.因此俯视图不可
14、能是C.(3)选C.在四棱锥P-ABCD中,连接AC,由主视图和左视图可得PC=BC=CD=1,故AC=,最长的棱为【互动探究】若本例题(3)中的四棱锥P-ABCD为正四棱锥,且主视图和左视图是边长为1的正三角形,求该四棱锥的侧棱长.【解析】如图,由条件知,正四棱锥的底边AB=1,高则在正方形ABCD内,故侧棱长【拓展提升】三视图的画法技巧(1)一般思路:可以想象自己站在几何体的正前方、正左方和正上方观察,分析出它的轮廓线,然后再去画图.(2)组合体的三视图:要确定主视、左视、俯视的方向;注意组合体是由哪些几何体组成,弄清楚它们的生成方式;注意它们的交线的位置.【变式备选】(1)已知正三棱柱的
15、侧棱长与底面边长都是2,给出以下a,b,c,d四种不同的三视图,其中可以正确表示这个正三棱柱的三视图的有()(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个【解析】选D.根据正三棱柱的位置,以及画三视图的规则,容易得出4种不同的三视图都正确.(2)一个几何体的主视图和俯视图如图所示,则其左视图的面积为()(A)7 (B)(C)6 (D)【解析】选B.由分析可知其左视图如图所示,其上面是一个两直角边均为1的直角三角形,则左视图的面积为【备选考向】空间几何体的直观图【典例】(1)如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.(2)如图所示,ABC是ABC的直观图,且ABC是边长为a的正三角形
16、,求ABC的面积.【思路点拨】(1)先由三视图确定几何体的结构,然后画出直观图.(2)根据斜二测画法,作出ABC的边AB上的高在平面直观图中所对应的线段,并用平面几何的知识求其长度即可求得原ABC的面积.【规范解答】(1)该几何体类似棱台,先画下底面矩形,中心轴,然后画上底面矩形,连线即成.画法:如图,先画轴,依次画x,y,z轴,三轴相交于点O,使xOy=45,xOz=90.在z轴上取OO=8cm,再画x,y轴.在坐标系xOy中作直观图ABCD,使得AD=20cm,AB=8cm;在坐标系xOy中作直观图A1B1C1D1,使得A1D1=12cm,A1B1=4cm.连接AA1,BB1,CC1,DD
17、1,即得到所求直观图.(2)如图所示，ABC是边长为a的正三角形，作CDAB交y轴于点D，则D到x轴的距离为DAB=45，AD=由斜二测画法的法则知，在ABC中，AB=AB=a，AB边上的高是AD的二倍，即为 【互动探究】本例题(2)若改为“已知ABC是边长为a的等边三角形,求其直观图ABC的面积”,则如何求解?【解析】如图所示,ABC为ABC的直观图,O为AB的中点.由直观图的画法知AB=a,即边长为a的等边三角形的直观图的面积为【拓展提升】直观图的画法直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度,然后运用“水平长不变,垂直长减半”的方法确定出点
18、,最后连线即得直观图.【提醒】画直观图时注意被遮挡的部分要画成虚线.【变式备选】如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中OA=6cm,OC=2cm,则原图形是()(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)一般的平行四边形【解析】选C.将直观图还原得OABC,OD=2OD=CD=OC=2 cm,CD=2 cm,OA=OA=6 cm=OC,故原图形为菱形.【易错误区】三视图画法中的易错点【典例】(2012陕西高考)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为()【误区警示】本题易出现的错误为实虚不分致误,不能正确区别哪些棱为可见,哪些棱为不可见,从而
19、画错实虚线导致错误.【规范解答】选B.图2所示的几何体的侧视图可由点A,D,D1,B1确定其外形为正方形,判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一实一虚,且要把AD1和B1C区别开来,故选B.【思考点评】画三视图应注意的问题(1)在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来,即“眼见为实,不见为虚”.(2)在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”.1.(2013渭南模拟)如图1,已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1,B1C1,CC1,DD1的中点,平面EFGH将正方体截去一个三棱柱后,得到图2所示的几何体,则此几何体的
20、主视图和左视图是()【解析】选C.由三视图的画法规则可知,在主视图中HG应为虚线.2.(2012福建高考)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是()(A)球(B)三棱锥(C)正方体(D)圆柱【解析】选D.圆柱的三视图,分别为矩形、矩形、圆,不可能三个视图都一样,而球的三视图都是圆,三棱锥的三视图可以都是三角形,正方体的三视图可以都是正方形.3.(2013铜川模拟)某几何体的主视图和左视图均为如图1所示的形状,则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()(A)(1)(3)(B)(1)(4)(C)(2)(4)(D)(1)(2)(3)(4)【解析】选A.可以是一个正方
21、体上面一个球,也可以是一个圆柱上面一个球.4.(2013延安模拟)如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图,构成这个立体图形的小正方体的个数是()(A)3(B)4(C)5(D)6【解析】选C.根据主视图下面三个上面一个,这样看到的有4个小正方体,根据俯视图有前后两排,下层共有4个小正方体,上层还有1个小正方体,共有4+1=5个.5.(2013亳州模拟)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大是()（A）8 （B）（C）10 （D）【解析】选C.由三视图可知，该几何体为四个面均为直角三角形的三棱锥，如图所示，其中PA=4，AB=4，BC=3，且PA平面ABC，ABC=90
22、，SPAB=44=8,SABC=43=6,PAC的面积最大,最大为1.某圆柱被一平面所截得到的几何体如图所示,若该几何体的主视图是等腰直角三角形,俯视图是圆(如图),则它的左视图是()【解析】选D.由主视图和俯视图可看出:其左视图是由一个圆,其中圆的直径与俯视图中圆的直径相同或与主视图的高相同,及与圆相切的矩形去掉与圆的直径重合的一边组成的图形.故选D.2.一个几何体的三视图如图所示,其主视图的面积等于8,俯视图是一个面积为的正三角形,则其左视图的面积为()(A)(B)(C)(D)4【解析】选A.由三视图知该几何体是正三棱柱,设其底面边长为a,高为h,则其主视图为矩形,矩形的面积S1=ah=8,俯视图为边长为a的正三角形,三角形的面积则a=4,h=2,而左视图为矩形,底边为高为h,故左视图的面积为
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