1、20102014年高考真题备选题库第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例1(2014浙江，5分)设为两个非零向量a，b的夹角已知对任意实数t，|bta|是最小值为1.()A若确定，则|a|唯一确定B若确定，则|b|唯一确定C若|a|确定，则唯一确定D若|b|确定，则唯一确定解析：|bta|2b22abtt2a2|a|2t22|a|b|cos t|b|2.因为|bta|min1，所以|b|2(1cos2)1.所以|b|2sin2 1，所以|b|sin 1，即|b|.即确定，|b|唯一确定答案：B2(2014江西，5分)已知单位向量e1，e2的夹角为，且
2、cos ，若向量a3e12e2，则|a|_.解析：因为a2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3.答案：33(2014新课标全国，5分)设向量a，b 满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2C3 D5解析：因为|ab|，所以|ab|210，即a22abb210.又因为|ab|，所以|ab|26，所以a22abb26.由得4ab4，则ab1.答案：A4.(2014安徽，5分)设a，b为非零向量，|b| 2|a|，两组向量 x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4 均由2个 a和2个 b排列而成，若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2 ，则 a
3、与 b的夹角为( )A. B.C. D0解析：设Sx1y1x2y2x3y3x4y4，若S的表达式中有0个ab，则S2a22b2，记为S1，若S的表达式中有2个ab，则Sa2b22ab，记为S2，若S的表达式中有4个ab，则S4ab，记为S3.又|b|2|a|，所以S1S32a22b24ab2(ab)20，S1S2a2b22ab(ab)20，S2S3(ab)20，所以S3S2S1，故SminS34ab，设a，b的夹角为，则Smin4ab8|a|2cos 4|a|2，即cos ，又0，所以.答案：B5(2014陕西，5分)设0c .已知 2，cos B，b3，求：(1)a和c的值；(2)cos(B
4、C)的值解：(1)由2得cacos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accosB.又b3，所以a2c292213.解得a2，c3或a3，c2.因ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理，得sin Csin B.因abc，所以C是锐角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.11(2014四川，5分)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2B3C. D.解析：设点A的坐标为(a2，a)，点B的坐标为(b2，b)，直线AB
5、的方程为xtym，与抛物线y2x联立得y2tym0，故abm，由2得a2b2ab2，故ab2或ab1(舍去)，所以m2，所以ABO的面积等于m|ab|ab|，AFO的面积等于|a|，所以ABO与AFO的面积之和等于23，故选B.答案：B12（2013湖南，5分）已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1B.C.1 D.2解析：本题主要考查向量的坐标运算、向量模的几何含义与向量模的最值求解，意在考查考生的转化能力、数形结合思想的运用能力建立平面直角坐标系，令向量a，b的坐标a(1,0)，b(0,1)，令向量c(x，y)，则有1，|c|的最大值为圆(x1)
6、2(y1)21上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即1.答案：C13（2013湖北，5分）已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C D解析：本题考查向量的坐标运算及向量投影的概念，意在考查考生对基础知识的掌握情况(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影为|cos，|，故选A.答案：A14（2013新课标全国，5分）已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力根据数量积bc0，把已知两向量的夹角转
7、化到两向量数量积的运算中因为向量a，b为单位向量，所以b21，又向量a，b的夹角为60，所以ab，由bc0得bta(1t)b0，即tab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.答案：215（2013安徽，5分）若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_解析：本题主要考查平面向量数量积的运算和夹角等基础知识和基础运算对向量的模同时平方可得，|a|29|b|2|a2b|2|a|24|b|24ab，所以有4ab4|b|2，即cosa，b.答案：16（2013浙江，4分）设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_解析：
8、本题考查向量的概念、运算、函数的最值等知识，考查转化与化归能力、函数与方程思想以及灵活利用知识分析问题、解决问题的能力当x0时，0，当x0时，24，所以的最大值是2，当且仅当时取到最大值答案：217（2013辽宁，12分）设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解：本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)
9、f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.18（2013江苏，15分）已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值解：本题考查平面向量的加法、减法、数量积运算，三角函数的基本关系等基础知识，意在考查学生的运算求解和推理论证能力(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由
10、此得，cos cos ()，由0，得0.又0，所以，.19（2013天津，13分）设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为， 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1) 求椭圆的方程； (2) 设A, B分别为椭圆的左、右顶点， 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值. 解：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力(1)设F(c,0)，由，知，ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以
11、椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.则x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.20（2012新课标全国，5分）已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析：依题意，可知|2ab|24|a|24ab|b|244|a|b|cos 45|b|242|b|b
12、|210，即|b|22|b|60，|b|3(负值舍去)答案：321. （2012江苏，5分）如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)设F(x,2)(0x)，由xx1，所以F(1,2)，(，1)(1，2).答案：22（2012湖北，5分）已知向量a(1,0)，b(1,1)，则(1)与2ab同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量b3a与向量a夹角的余弦值为_解析：(1)因为2ab(3,1)，所以与它同向的单位向量的坐标是(，)；(
13、2)b3a(2,1)，所以(b3a)a2，|b3a|，所以b3a与a夹角的余弦为答案：(1)(，)；(2)23（2011新课标全国，5分）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.解析：ab与kab垂直，(ab)(kab)0，化简得(k1)(ab1)0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得ab10，得k10，即k1.答案：124(2011山东，5分)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)，A1A2(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2已知点C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则
14、下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：根据已知得(c,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(c,0)(1,0)，从而得c；(d,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(d,0)(1,0)，得d.根据2，得2.线段AB的方程是y0，x0,1若C是线段AB的中点，则c，代入2得，0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不正确；若C，D同时在线段AB上，则0c1,01，d1，则2，与2矛盾，若c0，d1，d0，则1，0，此时1，与2矛盾；故选项D的说法是正确的答案：D25（2
15、010辽宁，5分）平面上O，A，B三点不共线，设a，b，则OAB的面积等于()A.B.C.D.解析：因为cosa，b，所以sinAOBsina，b ，则SAOB|a|b|sinAOB.答案：C26(2010湖南，5分)若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30 B60C120 D150解析：(2ab)b2abb22|a|2cosa，ba20cosa，b，所以夹角为120.答案：C27(2010江苏，14分)在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解：(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.