1、数学试题第1页，共 8 页 56 级高一下学期开学学情检测试题（数学）（满分 150 分，考试用时 120 分钟）请将答案写在规定的位置，并及时上传。超出答题区域不予得分。祝考试顺利 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设211zi（i 是虚数单位），则 z（）A 2 B3 C 5 D 2 3 2“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0,10 内的一个数来表示，该数越接近10 表示满意度越高.现随机抽取10 位北京市民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9
2、，10.则这组数据的 75%分位数是（）A7 B 7.5 C8 D8.5 3已知向量(1,2)a，(2,2)b，(,1)c，若/(2)cab，则（）A2 B1 C12 D 12 4某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A“至少 1 名男生”与“至少有 1 名是女生”B恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”C“至少 1 名男生”与“全是男生”D“至少 1 名男生”与“全是女生”5已知圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 53 cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点 A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 A.则蚂蚁爬行的最短路程长为（）A
3、8cm B5 3 cm C10cm D5 cm 6如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是 12，且是互相独立的，灯亮的概率为（）A 316B 34C1316D 147如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD交于点O，且2AEEO，则 ED（）数学试题第2页，共 8 页 A 1233ADAB B 2133ADAB C 2133ADAB D 1233ADAB 8 ABC的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，M 在边 AB 上，且13AMAB，2b，2 73CM，2sinsinsin2ABcBb，则ABCS（）A 3 34 B3 C 2 3 D 8 33 二、多项选
4、择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9如图是我国 2018 年 1 月至 12 月石油进口量统计图（其中同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比），则下列说法正确的是（）A2018 年下半年我国原油进口总量高于 2018 年上半年B2018 年 12 个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高 1152 万吨C2018 年我国原油进口总量高于 2017 年我国原油进口总量D2018 年 1 月5 月各月与 2017 年同期相比较，我国原油进口量有增有减10在 ABC
5、中，内角,A B C 所对的边分别为,a b c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A10,45,70bAC B45,48,60bcB C14,16,45abA D7,5,80abA 数学试题第3页，共 8 页 11已知正方体1111ABCDA BC D 的棱长为 a，点,E F G 分别棱楼111,AB AA C D 的中点，下列结论中正确的是（）A四面体11ACB D 的体积等于312 a B1BD平面1ACB C11/B D平面 EFG D异面直线 EF 与1BD 所成角的正切值 12点 O 在 ABC所在的平面内,则以下说法正确的有()A若0OAOBOC,则点 O 为 ABC的重
6、心 B若0ACABBCBAOAOBACABBCBA,则点 O 为 ABC的垂心 C若()()0OAOBABOBOCBC,则点 O 为 ABC的外心 D若OA OBOB OCOC OA,则点 O 为 ABC的内心 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某校现有高一学生 210 人，高二学生 270 人，高三学生 300 人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为 7，那么从高三学生中抽取的人数为_.14若复数 z 满足 23i,zz其中i 为虚数单位，z 为 z 的共轭复数，则 z 在复平面内对应的点位于第
7、_象限.15.已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为 6，上、下底面的半径分别为 2，4，则球O的表面积为_ 16.已知O 是 ABC外接圆的圆心，若 4560OAOBOC，则 cosC_ 填空题答题区：13.14.15.16.数学试题第4页，共 8 页 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）已知复数2z(m5m6)(m2)i（mR）（1）若复数 z 为纯虚数，求实数 m 的值；（2）若复数 z 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 m 的取值范围17.解：18如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 A
8、B，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且11B DA F，1111ACA B.求证：（1）直线 DE 平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F.18.证明：数学试题第5页，共 8 页 19在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，已知coscos30(sin)cosCAAB.（1）求角 B 的大小；（2）若1ac，求b 的取值范围 19.解：20对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率10,15)100.2515,20)2
9、4n20,25)mp25,3020.05合计M1数学试题第6页，共 8 页（1）求出表中 M，p 及图中 a 的值；（2）若该校高三学生有 240 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间10,15)内的人数；（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数20.解：数学试题第7页，共 8 页 21.某商店销售某海鲜，统计了春节前后 50 天海鲜的需求量 x，（1020 x，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货 1 次，商店每销售 1 公斤可获利 50 元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理 1 公斤亏损 10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售 1 公斤
10、可获利 30 元.假设商店每天该海鲜的进货量为 14 公斤，商店的日利润为 y 元.（1）求商店日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.求这 50 天商店销售该海鲜日利润的平均数；估计日利润在区间580 760，内的概率.21.解：数学试题第8页，共 8 页 22.如图，直三棱柱111ABCA B C 中，090BAC，ABAC=1，,D E 分别为1AA、1B C 的中点.（1）证明：DE平面11BCC B；（2）已知1B C 与平面 BCD 所成的角为030，求二面角1DBCB 的余弦值.22.解：数学试题答案 第1页，共8页 56 级高
11、一下学期开学学情检测试题（数学）答案 一、单项选择题：1【答案】C【解析】()()()2 12112111iziiii=+=+=+，因此，()22215z=+=.故选：C.2【答案】C【解析】由题意，这 10 个人的幸福指数已经从小到大排列，因为75%107.5=，所以这 10 个人的75%分位数是从小到大排列后第 8 个人的幸福指数，即 8.故选：C3.【答案】A【解析】()1,2a=，()2,2b=()24,2ab+=()/2cab+24=，解得：2=，故选：A4.【答案】D【解析】从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生参加演讲比赛，“至少 1 名男生”与“至少有 1 名是女生”不
12、互斥；“恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”是互斥不对立事件；“至少 1 名男生”与“全是男生”不互斥；“至少 1 名男生”与“全是女生”是对立事件；故选：D5.【答案】B【解析】蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点 A，爬行的最短路程长为1AA 如图 作1OCAA，由圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 53cm，所以1510233lAA=cm，由lOA=，所以23=即123AOA=，所以3AOC=故5 3sin2ACOAAOC=cm 所以125 3AACA=cm 故选：B 6.【答案】C【解析】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，数学试题答案 第2页，共8页 灯泡不亮包括四个开关都
13、开，或下边的 2 个都开，上边的 2 个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，灯泡不亮的概率是111111111322222222216111222+=，灯亮和灯不亮是两个对立事件，灯亮的概率是3131 1616=，故选：C 7.【答案】C【解析】画出图形，如下图选取,?AB AD 为基底，则()211333AEAOACABAD=+，()121333EDADAEADABADADAB=+=故选 C8.【答案】B【解析】ABC中，2sinsinsin 2ABcBb=，2sinsinsinsin 2sinABCBB=，2sincos2sinsinCBAB=，()2sinco
14、s2 sincoscossinsinCBBCBCB=+，1cos2C=，又()0,C，60C=；又13AMAB=，()1133CMCAAMCAABCACBCA=+=+=+2133CACB=+，32CMCACB=+，222944CMCACBCA CB=+；228164aa=+，解得2a=或6a=（不合题意，舍去），ABC的面积为12 2sin 6032ABCS=.故选：B.二、多项选择题：9.【答案】ABC【解析】由图易知 A，B 正确；由数量同比折线图可知，除 6 月及 10 月同比减少外，其他月份同比都递增，且 1 月，4 月，11 月，12 月同比增长较多，故 2018数学试题答案 第3页
15、，共8页 年我国原油进口总量高于 2017 年我国原油进口总量，C 正确；2018 年 1 月至 5 月的同比数据均为正数，故 2018 年 1 月5 月各月与 2017 年同期相比较，我国原油进口量只增不减，D 错误.故选：ABC10.【答案】BC【解析】对于选项 A 中：由45,70AC=，所以18065BA C=，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项 B 中：因为csin8 3sin115BCb=，且cb，所以角C 有两解；对于选项 C 中：因为sin4 2sin17bABa=，且ba，所以角 B 有两解；对于选项 D 中：因为sinsin1bABa=，且ba，所以角 B 仅
16、有一解.故选：BC.11.【答案】BD【解析】延长 EF 分别与11B A，1B B 的延长线交于 N，Q，连接GN交11A D 于 H，设 HG 与11BC 的延长线交于 P，连接 PQ 交1CC 于 I，交 BC 于 M，连FH，HG，GI，IM，ME，11B D 与 HG 相交，故11B D 与平面 EFG 相交，所以C不正确；1 BDAC，11BDB C，且 AC 与1BC 相交，所以1BD 平面1ACB，故 B正确；平移可得异面直线 EF 与1BD 的夹角的正切值为22，故 D 正确；四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323aaa=
17、，故 A 不正确故选：BD12.【答案】AC 【解析】选项 A，设 D 为 BC 的中点，由于()2OAOBOCOD=+=，所以O 为 BC 边上中线的三等分点(靠近点 D)，所以 O 为ABC的重心；选项 B，向量,|ACABACAB分别表示在边 AC 和 AB 上的单位向量，设为 AC和 AB，则它们的差是向量 B C，则当0|ACABOAACAB=，即OAB C 时，点 O 在BAC数学试题答案 第4页，共8页 的平分线上，同理由0|BCBAOBBCBA=，知点 O 在ABC的平分线上，故 O 为ABC的内心；选项 C，OAOB+是以,OA OB为邻边的平行四边形的一条对角线，而 AB
18、是该平行四边形的另一条对角线，()0ABOAOB+=表示这个平行四边形是菱形，即|OAOB=，同理有|OBOC=，于是 O 为 ABC的外心；选项 D，由OA OBOB OC=得0OA OBOB OC=，()0OBOA OC=，即0OB CA=，OBCA同理可证,OACB OCAB，OBCA，OACB，OCAB，即点 O 是 ABC的垂心；故选：AC 三、填空题：13.【答案】10 【解析】因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取 9 人，从高三年级应抽取 10 人.14.【答案】四 【解析】设 zabi=+，则 zabi=，代入可得3i=3 iab+，由复数相等的定义可
19、得1,1ab=，即1zi=，故 z 在复平面内对应的在第四象限.15.【答案】80 【解析】设球半径为 R，球心 O 到上表面距离为 x，则球心到下表面距离为 6-x,结合勾股定理，建立等式()222224+6xx+=，解得4x=，所以半径222220Rx=+=，因而表面积2480SR=16.【答案】74 【解析】设 ABC的外接圆的半径为 R，因为4560OAOBOC+=，所以456OAOBOC+=，则2222162540cos36RRRAOBR+=，即8cos1AOB=，即28(2cos1)1C=，解得7cos4C=.四、解答题：数学试题答案 第5页，共8页 17.【解析】（1）因为复数
20、z 为纯虚数，所以2560 20mmm+=，解之得，3m=（2）因为复数 z 在复平面内对应的点在第二象限，所以2560 20mmm+，解之得 23 2mm，得23m所以实数m 的取值范围为（2，3）18.【解析】证明：（1）在直三棱柱111ABCA B C中，11ACAC，在三角形 ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是11DEAC，又因为 DE 平面1111,AC F AC 平面11AC F，所以直线 DE/平面11AC F.（2）在直三棱柱111ABCA B C中，1111AAA BC 平面因为11AC 平面111A B C，所以111AAAC，又因为
21、111111111111111,ACA BAAABB A A BABB A A BAAA=，平面平面，所以11AC 平面11ABB A.因为1B D 平面11ABB A，所以111ACB D.又因为1111111111111,B DA FACAC F A FAC F ACA FA=，平面平面，所以111B DAC F 平面.因为直线11B DB DE 平面，所以1B DE平面11.AC F 平面19.【解析】（1）coscos3sin)cos0(CAAB+=，cos()coscos3sincos0ABABAB+=，即coscossinsincoscos3sincos0ABABABAB+=，数学
22、试题答案 第6页，共8页 sin0A，tan3B=，3B=（2）222222cosbacacBacac=+=+22()31 3()2acacac+=+2111 3()24=，12b，又1bac+=，b 的取值范围是 1,1)220.【解析】(1)由分组10,15)内的频数是 10，频率是 0.25，知 10M0.25，所以M40.因为频数之和为 40，所以 1024m240，解得 m4，p440mM=0.10.因为 a 是对应分组15,20)的频率与组距的商，所以 a2440 50.12.(2)因为该校高三学生有 240 人，在10,15)内的频率是 0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务
23、的次数在此区间内的人数为 60.(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是15202+17.5.因为 n 24400.6，所以样本中位数是 15 0.50.25a17.1，估计这次学生参加社区服务人数的中位数是 17.1.样本平均人数是 12.50.2517.50.622.50.127.50.0517.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是 17.25.21.【解析】（1）商店的日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式为：()()50 143014,1420501014,1014xxyxxx+=，化简得：30280,142060140,1014xxyxx+=（2）由频率分布直方图得：海鲜
24、需求量在区间)10,12 的频率是2 0.080.16=；海鲜需求量在区间)12,14 的频率是2 0.120.24=；海鲜需求量在区间)14,16 的频率是2 0.150.30=；数学试题答案 第7页，共8页 海鲜需求量在区间)16,18 的频率是2 0.100.20=；海鲜需求量在区间18,20 的频率是2 0.050.10=；这5050 天商店销售该海鲜日利润 y 的平均数为：()()()(11 60 14 100.1613 60 14 100.2415 3020 140.3017 30+)()20 140.2019 3020 140.1083.2 153.6219 15885698.8
25、+=+=（元）由于14x=时，30 1428060 14 140700+=显然30280,142060140,1014xxyxx+=在区间10,20 上单调递增，58060140yx=，得12x=；76030280yx=+，得16x=；日利润 y 在区间580,760 内的概率即求海鲜需求量 x 在区间12,16 的频率：0.240.300.54+=22.【解析】（1）取 BC 中点 F，连接 AF、EF,ABAC=AFBC，1BB 平面 ABC，AF 平面 ABC 1BBAF，而 BC 平面11BCC B,1B B 平面11BCC B,1BCB BB=AF 平面11BCC B E 为1B C
26、 中点，1EFBB，112EFBB=，EFDA，EFDA，四边形 ADEF 为平行四边形，AFDE DE 平面11BCC B（2）设1ABAC=，12AAa=，则2BC=，22AF=,21BDDCa=+，22212DFADAFa=+=+数学试题答案 第8页，共8页 212122BDCaSBC DF+=，11122BCBSBB BCa=，D 到平面1BCB 距离22DE=，设1B 到面 BCD距离为 d，由11BBDCD BCBVV=，得11133BCBBDCSDESd=，即21212123232aad+=，2221ada=+因为1B C 与平面 BCD所成的角为30，所以12222sin3021daB Cda=+，而在直角三角形1B BC 中2221142BCBBBCa=+=+，所以22242221aaa+=+，解得22a=因为 AF 平面11BCC B，BC 平面11BCC B,所以 AFBC，EF 平面11BCC B，BC 平面11BCC B 所以 EFBC，所以 BC 平面 DEFA，DF 平面 DBC,EF 平面1B BC所以EFD为二面角1DBCB的平面角，而22DAAF=,可得四边形 DAFE 是正方形，所以45EFD=，所以二面角1DBCB的余弦值为22