1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质1.直线与平面垂直(1)定义条件：直线l与平面内的_一条直线都垂直.结论：直线l与平面垂直.任意(2)判定定理与性质文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直_，_，_,_，_，l相交lalbabab=O文字语言图形语言符号语言性质重要性质l，a，la性质定理垂直于同一个平面的两条直线_，_，ab平行ab2.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角.如图，_就是斜线AP与平面所成的角.(2)线面角的范围：_.锐角PAO3.平面与平面垂直(1)二面角定
2、义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做_.如图的二面角，可记作:二面角_或二面角_.二面角的面-l-P-AB-Q二面角的平面角如图，过二面角-l-的棱l上一点O在两个半平面内分别作BOl，AOl,则_就叫做二面角-l-的平面角.二面角的范围设二面角的平面角为，则_.AOB0,(2)平面与平面垂直定义：条件：两相交平面所成的二面角为_.结论：这两平面垂直.直二面角判定定理和性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直_,_,性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直_,_,_，_，
3、lll=alla垂线交线判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)若直线a平面，直线b,则直线a与b垂直.()(3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0，.()(4)二面角是指两个相交平面构成的图形.()(5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()【解析】(1)错误.直线l与平面内的无数条直线都垂直时，直线l与平面可平行，可相交，直线l也可在平面内.(2)正确.由b可得b平行于内的一条直线，设为b,因为a,所以ab，从而ab.(3)错误.异
4、面直线所成角的范围是(0，,而二面角的范围是0，.(4)错误.二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.(5)错误.若平面平面，则平面内的直线l与可平行，可相交，也可在平面内.(6)错误.平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，不能保证该直线垂直于此平面，故不能推出.答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.若m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则以下命题正确的是()(A)若m，n，则mn(B)若mn,m,则n(C)若m,，则m(D)若=m,mn,则n【解析】选B.A选项中，m与n可平行、相交、异面；C选项中，m可以平行于，m也可以在内；D选项中，n也能在内或n或与相交.2.
5、设，为不重合的平面，m,n为不重合的直线，则下列命题正确的是()(A)若,=n,mn,则m(B)若m,n,mn,则n(C)若n,n,m,则m(D)若m,n,mn，则【解析】选C.C选项中,n,n,.又m,m.3.设a,b,c表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.由a,ba可得，b与的位置关系有:b,b，b与相交，所以D不正确.4.如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1是异面直线BC1与A1B1的公垂线，则C1在平面ABC内的射影H()(A)在直线AC上(B)在直线BC上(C)在ABC内部(D)在直线AB上【解析】选D
6、.由A1C1BC1,A1C1A1B1,得A1C1平面ABC1.又ACA1C1,AC平面ABC1.又AC平面ABC,平面ABC平面ABC1,两平面交线为AB，C1在平面ABC内的射影在AB上.5.已知m,l是直线，,是平面，给出下列命题:若l垂直于内的两条相交直线，则l;若l平行于，则l平行于内的所有直线;若m,l，且lm,则;若l,且l,则;若m,l,且，则ml.其中正确命题的序号是_.【解析】是线面垂直的判定定理，因而正确.不成立，l还可能与内的直线异面.不成立，如,相交但不垂直，m与l中一条平行于交线，一条垂直于交线.是面面垂直的判定定理，因而正确.不成立.m与l还可能是异面直线.综上，正
7、确命题的序号是.答案：考向 1 直线与平面垂直的判定和性质【典例1】(1)(2013深圳模拟)设l,m,n为三条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是()若l,m,，则lm;若m,n,lm,ln,则l;若lm,mn,l,则n;若lm,m,n,，则ln.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2)(2013潮州模拟)如图，三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，ABBC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC，PC于D，E两点,PB=BC，PA=AB.求证：PC平面BDE；若点Q是线段PA上任一点，判断BD，DQ的位置关系，并证明你的结论；若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.【思路点拨】
8、(1)根据线面平行、面面平行及线面垂直的判定定理和性质定理逐个判断.(2)利用线面垂直的判定定理证明；证明BD平面PAC即可；根据VB-CED=VC-BDE，转化为求SBDE及CE的长度.【规范解答】(1)选B.对于，直线l,m可能互相平行，不正确；对于，直线m,n可能是平行直线，此时不能得l，不正确；对于，由“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”得知，正确；对于，由lm,m得l,由n,得n，因此有ln,正确.综上所述，其中命题正确的个数是2，故选B.(2)DE垂直平分线段PC，PB=PC，DEPC，BEPC，又BEDE=E，PC平
9、面BDE.由得，PCBD.PA底面ABC，PABD.又PCPA=P，BD平面PAC，当点Q是线段PA上任一点时都有BDDQ.PA=AB=2,PB=BC=ABBC,AC=PC=4，CE=2，且CDECPA，由可知：BDDE.VB-CED=VC-BDE=SBDECE【互动探究】本例(2)若改为“设Q是线段PA上任意一点，求证：平面BDQ平面PAC”，如何证明？【证明】由(2)的解法可知BD平面PAC.又BD平面BDQ,平面BDQ平面PAC.【拓展提升】1.判定线面垂直的四种方法方法一：利用线面垂直的判定定理.方法二：利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.方法三：利用“一条直
10、线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.方法四：利用面面垂直的性质定理.2.线面垂直性质的重要应用当直线和平面垂直时，则直线与平面内的所有直线都垂直，给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法.【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程，如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件.【变式备选】如图，几何体ABCDPE中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PA=2BE=(1)证明：BD平面PEC；(2)若G为BC上的动点，求证：AEPG.【证明】(1)连接AC交BD于点O，取PC的中点F，连接OF，EF，EBPA，且E
11、B=PA，又OFPA，且OF=PA，EBOF，且EB=OF，四边形EBOF为平行四边形，EFBD.又EF平面PEC，BD 平面PEC，BD平面PEC.(2)连接BP，EBA=BAP=90,EBABAP,PBA=BEA,PBA+BAE=BEA+BAE=90,PBAE.PA平面ABCD，PA平面APEB，平面ABCD平面APEB.BCAB，平面ABCD平面APEB=AB，BC平面APEB，BCAE.又BCPB=B，AE平面PBC.G为BC上的动点，PG平面PBC，AEPG.考向 2面面垂直的判定与性质【典例2】如图所示，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE，CE=CA=2BD，M是EA的中点
12、.求证：(1)DE=DA.(2)平面BDM平面ECA.【思路点拨】(1)由于CE=2BD，故可考虑取CE的中点F，通过证明DEFADB来证明DE=DA.(2)证明面面垂直，应先证明线面垂直.【规范解答】(1)如图所示，取CE的中点F，连接DF.EC平面ABC，ECBC.BDCE，BD=CE=CF=FE，四边形FCBD是矩形，DFEC.又BA=BC=DF，RtDEFRtADB，DE=DA.(2)如图所示，取AC中点N，连接MN，NB，M是EA的中点，MN CE.由BD CE,且BD平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DMMN.DE=DA，M是EA的中点，DMEA.又EAMN=M，DM平面E
13、CA，而DM平面BDM，平面BDM平面ECA.【拓展提升】1.面面垂直的证明方法面面垂直的证明问题，主要思路有两条：其一，用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；其二，用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.2.面面垂直的性质定理应用技巧两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面内的直线”.【变式训练】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，CE=EF=1.求证：(1)AF平面BDE.(2)CF平面BDE
14、.【证明】(1)设AC与BD交于点G.因为EFAG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形.所以AFEG.因为EG平面BDE，AF 平面BDE，所以AF平面BDE.(2)连接FG.因为EFCG，EF=CG=1，且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCD=AC，所以BD平面ACEF且CF平面ACEF，所以CFBD.又BDEG=G，所以CF平面BDE.考向 3垂直关系的综合应用【典例3】(2013南京模拟)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A
15、B，CD，C1D1的中点.求证：(1)AN平面A1MK.(2)平面A1B1C平面A1MK.【思路点拨】(1)要证线面平行，需证线线平行；(2)要证面面垂直，需证线面垂直.【规范解答】(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1=DD1，C1D1CD，C1D1=CD.N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DN=D1K，四边形DD1KN为平行四边形.KNDD1，KN=DD1，AA1KN，AA1=KN，四边形AA1KN为平行四边形，ANA1K.A1K平面A1MK，AN 平面A1MK，AN平面A1MK.(2)连
16、接BC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，ABC1D1，AB=C1D1.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC1K，BM=C1K，四边形BC1KM为平行四边形，MKBC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1,A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C.MKB1C.A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1C=B1，MK平面A1B1C.又MK平面A1MK，平面A1B1C平面A1MK.【拓展提升】垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面
17、垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.【变式训练】如图，已知三棱锥A-BPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形.(1)求证：DM平面APC.(2)求证：平面ABC平面APC.(3)若BC4，AB20，求三棱锥D-BCM的体积.【解析】(1)M为AB中点，D为PB中点，DMAP.又DM 平面APC，AP平面APC,DM平面APC.(2)PMB为正三角形，且D为PB中点，MDPB.又由(1)知MDAP，APPB.又APPC，PB
18、PC=P，AP平面PBC，APBC.又ACBC，APAC=A，BC平面APC.又BC平面ABC,平面ABC平面APC.(3)AB20，MP10，PB10.又BC4，SBCD又VD-BCMVM-BCD【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答【典例】(13分)(2012广东高考)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB平面PAD，ABCD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为PAD中AD边上的高.(1)证明：PH平面ABCD.(2)若PH=1，AD=，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积.(3)证明：EF平面PAB.【思路点拨】【规范解答】(1)由于AB平面PAD，PH平面PA
19、D，故ABPH.1分又PH为PAD中AD边上的高，故ADPH.2分ABAD=A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，PH平面ABCD.4分(2)由于PH平面ABCD，E为PB的中点，PH=1，故E到平面ABCD的距离.5分又因为ABCD，ABAD，所以ADCD，6分故7分因此8分(3)过E作EGAB交PA于G，连接DG.由于E为PB的中点，G为PA的中点.9分AD=PD，故DPA为等腰三角形，DGAP.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG.10分又ABPA=A，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.11分又GE AB,DF AB,GE DF.四边形DFEG为平行四边形，故DGEF
20、.12分EF平面PAB.13分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2012浙江高考)已知矩形ABCD，AB=1，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()(A)存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直(B)存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直(C)存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直(D)对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直【解析】选B.若存在某个位置，使得ACBD，作AEBD于E，则BD平面AEC，所以BDEC，在ABD中，AB2=BEBD，而在BCD中，BC2=BEBD，两者矛盾.故A错误.若存在某个位置，使得ABCD，又因
21、为ABAD，则AB平面ACD，所以ABAC，即AC=1，故B正确，D错误.若存在某个位置，使得ADBC，又因为ADAB，则AD平面ABC，所以ADAC，而斜边CD小于直角边AD，矛盾，故C错误.2.(2013珠海模拟)已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()(A)若m，n，则mn(B)若m，n，则mn(C)若m，n，则mn(D)若m，n，则mn【解析】选A.由m,可得m或m，又n，故mn，即A正确；如图(1)，m,n,但mn，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m,n,，但m,n相交，故D错.3.(2013广州模拟)正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为
22、2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为_.【解析】如图，取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，易知ACEF，又GHSO，GH平面ABCD，ACGH.又GHEF=H，AC平面EFG，故点P的轨迹是EFG，其周长为答案：4.(2013惠州模拟)已知四棱锥P-ABCD如图甲所示，其三视图如图乙所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形.(1)求此四棱锥的体积.(2)若E是PD的中点，求证:AE平面PCD.(3)在(2)的条件下，若F是PC的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面.【解析】(1)由题意可知
23、，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，其面积S正方形ABCD=22=4,高h=2，所以VP-ABCD=S正方形ABCDh=42=(2)由三视图可知，PA平面ABCD,CDPA.四边形ABCD是正方形,CDAD.又PAAD=A,CD平面PAD.AE平面PAD,AECD.又PAD是等腰直角三角形,E为PD的中点,AEPD.又PDCD=D,PD平面PCD,CD平面PCD,AE平面PCD.(3)E,F分别是PD,PC的中点,EFCD且EF=CD.又CDAB且CD=AB,EFAB且EF=AB.四边形ABFE是梯形,AE，BF是梯形的两腰，故AE与BF所在的直线必相交.所以，直线AE和直线BF既不
24、平行也不异面.1.如图，O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()(A)A1D (B)AA1(C)A1D1 (D)A1C1【解析】选D.易知A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，A1C1B1O,故选D.2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】由PABD，ACBD可得BD平面PAC，所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC等)
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有