1、第三节几 何 概 型1.几何概型（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.（2）特点：无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有_个；等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布.长度(面积或体积)无限多2.几何概型的概率公式P(A)=.判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.()(4)在几何概型定义中的
2、区域可以是线段、平面图形、立体图形.()【解析】(1)正确.由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确.(2)错误.虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等.(3)正确.由几何概型的定义知，该说法正确.(4)正确.由几何概型的定义知，该说法正确.答案：(1)(2)(3)(4)1有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小水杯从水中取0.1升水，则此小水杯中含有这个细菌的概率是()(A)0.01 (B)0.02 (C)0.05 (D)0.1【解析】选C.试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为2.在区间-1,2上随机取一个数x，则|
3、x|1的概率为_.【解析】在区间-1,2上随机取一个数x，则|x|1的区间长度为2，|x|1的概率为答案：3.有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为_.【解析】如图，将细绳八等分，C,D分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD的任意位置剪断得到的两截细绳长度都大于米.由几何概型的计算公式，两截的长度都大于米的概率为答案：4.在集合Am|关于x的方程x2mx10无实根中随机地取一元素m，恰使式子lg m有意义的概率为_.【解析】由于得1m0.在数轴上表示为，故所求概率为答案：考向 1 与长度(角度)有关的几何概型【典例1】(1)（2012辽宁高考）在长为1
4、2 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()(A)(B)(C)(D)（2）在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，则ADAC的概率为_.【思路点拨】(1)本题与长度有关，利用几何概型求概率.(2)过点C在ACB内作射线CD与角度有关，利用几何概型的概率公式求解.【规范解答】(1)选C.设其中一段AC长为x cm，则另一段长为(12-x)cm，其中0 x12，由题意x(12-x)32得，0 x4或8x0的概率为_.【解析】根据已知条件，我们把a,b分别作为横坐标和纵坐标，然后在直角坐标系
5、内作图，利用面积比来求几何概型的概率值.如图所示，a,b满足的范围就是边长为4的正方形，而f(1)0即a+b3，表示的是直线的右上方，即阴影部分的区域.故所求的概率为答案：生活中的几何概型问题【典例】(1)假设车站每隔10分钟发一班车，若某乘客随机到达车站，则其等车时间不超过3分钟的概率为_.(2)(2013西安模拟)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.【思路点拨】(1)本题为实际问题，可将其转化为一数学模型，由于发车时间长度为10分钟，等车时间不超过
6、3分钟，且时间是连续的，乘客何时到达是随机的、等可能的，因此为几何概型.(2)要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上.【规范解答】(1)要使得等车的时间不超过3分钟，即到达的时刻应该是图中A包含的时间点故所求概率答案：0.3(2)这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0 x24,0y24,要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即yx1或xy2.故所求事件构成集合A=(x,y)|yx1或xy2,x0,24,y0,24.A为图中阴影部分，全部结
7、果构成集合为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P(A)=【拓展提升】生活中的几何概型度量区域的构造将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域.【提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.【变式训练】甲、乙两人因工作需要每天都要上网查资料，已知他们每天上网的时
8、间都不超过2小时，则在某一天内，甲上网的时间不足乙上网的时间的一半的概率是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.由题意知本题是一个几何概型，设甲、乙两人每天上网时间分别为x小时、y小时.试验包含的所有事件=(x,y)|0 x2,0y2，事件对应的集合表示的面积是S正方形=4，满足条件的事件是A=(x,y)|0 x2,0y0成立的概率是_.【解析】f(1)-1+a-b0,即a-b1,满足条件的区域如图中的ABC.又A(1,0),B(4,0),C(4,3),答案：1.在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC交于点C，如图，则使得AOC和BOC都不小于30的概率为_【解析】设事件A是“作射线OC，使AOC和BOC都不小于30”由几何概型的计算公式得P(A)答案：2.在区间0,9上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1log2x2的概率为_【解析】由不等式1log2x2，可得2x4，所以所求概率为答案：3.如图，在一个边长为a(a0)的正方形内画一个半圆，其半径为向该正方形内随机投一点，则所投的点落在半圆内部的概率为_【解析】记A所投的点落在半圆内部因为S正方形a2，所以故所投的点落在半圆内部的概率是答案：
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