1、2.5等比数列的前n项和（一）教学目标：综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力.教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.教学难点：灵活使用有关知识解决问题教学过程：.复习回顾前面我们学习了哪些有关等比数列的知识?定义式：q(q0，n2)通项公式：ana1qn1(a1,q0)若mnpq，则amanapaq,Sn (q1)Snna1，(q1)anSnSn1(n2)，a1S1(n1).讲授新课我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们. 例1求和：（x）（x2）（xn） (其中x0，x1，y1)分析：上面各个括号内的式子均由
2、两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当x0，x1，y1时，（x）（x2）（xn）(xx2xn)() 此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.例2已知Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.分析：由题意可得S3S62S9，要证a2，a8，a5成等差数列，只要证a2a52a8即可.证明：S3，S9， S6成等差数列，S3S62S9若q1，则S33a1，S66a1，S99a1，由等比数列中，a10得S3S62S9，与题设矛盾，q1，S3，S6，S9且整理得q3q62q9，由q
3、0得1q32q6又a2a5a1qa1q4a1q(1q3)，a2a5a1q2q62a1q72a8a2，a8，a5成等差数列.评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.例3某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)?分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.解：设每年的产量组成一个等比数列an，其中a15，q110%1.1，Sn3030，整理可得：1.1n1.6两边取对数，得nlg1.1lg1.6，即：n5答：约5年内可以使总产量达
4、到30万吨.评述：首先应根据题意准确恰当建立数学模型，然后求解.课堂练习课本P58练习1，2，3.课时小结通过本节学习，应掌握等比数列的定义式、通项公式、性质以及前n项求和公式的灵活应用.利用它们解决一些相关问题时，应注意其特点.课后作业课本P58习题 3，4，5等比数列的前n项和(二)1数列an为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.2已知数列an是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列bn是否仍为等比数列？3求数列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，的前n项和Sn.4数列an中，Sn1kan(k0，
5、k1)(1)证明数列an为等比数列；（2）求通项an；(3)当k1时，求和a12a22an2.5已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.6等比数列an中，S41，S83，求a17a18a19a20的值.7求和（x）2（x2）2（xn）28求数列2x2，3x3，4x4，nxn，的前n项和.等比数列的前n项和(二)答案1数列an为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.分析：利用等比数列的前n项和公式Sn解题.解：若q1，则应有S2n2Sn，与题意不合，故q1
6、.当q1时，由已知得由，得82，即q2n82qn810得qn81或qn1(舍)qn81，故q1.an的前n项中最大，有an54.将qn81代入，得a1q1由ana1qn154，得a1qn54q即81a154q由、得a12， q3评述：在数学解题中还应有一个整体观念，如本题求出qn81，应保留qn为一个整体求解方便.2已知数列an是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列bn是否仍为等比数列？分析：应对an的公比q分类讨论.解：设bna(n1)k+1a(n1) k+2ank，且数列an的公比为q则当q1时，b1b2bnka1,bn为公比是1的等比数列.当q1时，bn，qk bn为公比是qk的
7、等比数列.当q1时，若k为偶数，则bn0，此时bn不能为等比数列.若k为奇数，数列bn为公比为1的等比数列.综上：当an的公比不为1时，数列bn仍为等比数列；当an的公比为1时，若k为偶数，则bn不是等比数列；当k为奇数时，数列bn为公比为1的等比数列.3求数列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，的前n项和Sn.解：(1)a0时，Sn1；(2)a1时，Snn(n1)；(3)a1时，Sn；(4)a1；a0时，Sn.4数列an中，Sn1kan(k0，k1)(1)证明数列an为等比数列；（2）求通项an；(3)当k1时，求和a12a22an2.分析：由于条件中涉及Sn与an的关系，因此，要考
8、虑SnSn1an(n2)的运用，然后回答定义.（1）证明：Sn1kanSn11kan1得SnSn1kankan1(n2)(k1)ankan1， (常数)，（n2）an是公比为的等比数列.（2）解：S1a11ka1，a1an()n1(3)解：an中a1，qan2为首项为（）2，公比为（）2的等比数列.当k1时，等比数列an2的首项为 ，公比为 a12a22an21（）n 评述：应注意an的应用.5已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.解：设数列的公比为q，项数为2n则，得q(a1a3a2n1)170，q2又85，即8522n256
9、28，2n8评述：在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及到a1，n，q，an，Sn5个量，其中a1和q是基本量，利用这两个公式，可知三求二.6等比数列an中，S41，S83，求a17a18a19a20的值.分析：关键是确定首项和公比.解：设此数列的首项和公比为a1和q.则由得q42.a17a18a19a20S20S16q162416.评述：在研究等比数列的问题中，要确定基本量a1和q,仍然离不开方程思想，在具体求解时，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意优化与化简.7求和（x）2（x2）2（xn）2分析：注意到（xn）2anx2n2，且x2n与()2n为等比数列，故可考虑拆项法.解：Sn(x2x4x2n)()当x1时， Snnn2n4n.当x1时，Sn2n2n评述：在运用等比数列的求和公式时，要注意分析公比是否为1.8求数列2x2，3x3，4x4，nxn，的前n项和.分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题.解：（1）当x0时，Sn0.(2)当x1时，Sn234(n1)n(n3).(3)当x1时，Sn2x23x34x4(n1)xn+1xSn2x33x44x5nxn+1(n1)xn+2得：（1x）Sn2x2x3x4xn+1(n1)xn+22x2(n1)xn+2Sn又当x0时，Sn0适合Sn评述：错位相减法是一种常用的重要的求和方法.