1、第七节 正弦定理和余弦定理基础梳理1.设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，R是ABC的外接圆半径(1)正弦定理 三角形的_，即 _=_=_=2R.各边和它所对角的正弦的比相等 asinAbsinBcsinC(2)正弦定理的三种形式 a=_，b=_，c=_(边到角的 转换)；sin A=_，sin B=_，sin C=_(角到边的转换)；abc=sin Asin Bsin C.2aR2bR2cR 2Rsin C 2Rsin A 2Rsin B 12122.三角形常用面积公式(1)S=(2)S=_=_=_=_.(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径)ah(h表示三角形长
2、为a的边上的高)12 ah1sin2 acB1sin2 abC1sin2 bcA3.余弦定理 三角形任何一边的平方等于_ _即 a2=_；b2=_；c2=_.其他两边的平方的和 减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 余弦定理也可以写成如下形式 cos A=_；cos B=_；cos C=_.2222bcabc2222acbac2222abcab 4.勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90，则上述关 系式分别可化为：_，_，_.b2=a2+c2 c2=a2+b2 a2=b2
3、+c2 基础达标1.ABC的边分别为a、b、c，且a=1，c=4 2,则ABC的面积为_ B=45，解析：SABC=12 acsin B=11 4 22 sin 45=2.2.在ABC中，sinAsinBsinC=324，则cosC的 值为_ 解析：sinAsinBsinC=abc=324，不妨设a=3，b=2，c=4，则cosC=2222223241.22324abcab 3.(必修5P10第2题改编)已知ABC中，acosA+bcosB=ccosC，则ABC的形状为_ 解析：由余弦定理，化简整理可得(a2-b2)2=c4，a2=b2+c2或b2=c2+a2，故ABC为直角三角形 4.设a，
4、b，c是锐角ABC的角A，B，C的对边，若B=2A，则 ba的取值范围是_ 解析：由题意和正弦定理，得 222,bsinBsin AsinAcosAcosAasinAsinAsinA又由B=2A且ABC是锐角三角形，得,64A所以22cos3.A故 ba 的取值范围是 (2,3).5.(必修5P16第1题改编)在ABC中，A=,3 a=3则b与c的值分别为_，b+c=3，解析：由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos A，即 3=b2+c2-2bccos ,3 也即b2+c2-bc=3，(b+c)2=3bc+3，又b+c=3，bc=2.于是由 32bcbc解得 12bc 或21.bc 经典
5、例题题型一 正弦定理和余弦定理的应用【例1】(2010天津)在ABC中，内角A、B、C的对边分别 是a，b，c，若a2-b2=bc，sin C=2 sin B，则A=_.3333分析：由sin C=2 sin B和正弦定理可求得c=2 由此运用余弦定理可求得cos A的值，进而求出A.b，222222322bcabcbbcbcbc 2232 332 332222 3cbcbbbbcbb 解：由sin C=2 sin B结合正弦定理得：c=2 所以由余弦定理得：cos A=，所以A=30.33b，变式1-1(2010湖北改编)在ABC中，a=15，b=10，A=60，则 cos B=_.,abs
6、inAsinB1510,60sinsinB3.321sin B6.3解析：根据正弦定理得解得sin B=又因为ba，则BA，故B为锐角，所以cos B=题型二 三角形的面积问题【例2】在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=.3若ABC的面积等于 求a，b.3,分析：分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a，b的方程，然后解方程组得a，b.解：由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.ABC的面积等于 3,12 absin C=3,ab=4.联立方程组 224,4,ababab解得 22.ab 变式2-1 551010在ABC中，cos A=，cos B=2.(1)
7、求角C；(2)设AB=，求ABC的面积.46,10ABACABsinBACsinCsinBsinC1265(2)根据正弦定理得 所以ABC的面积为 ABACsinA=2,22,53,10所以sin A=sin B=，因为cosC=cos -(A+B)又0C ，故C=5,5解析：(1)由cos A=10,10cos B=0,2得A，B=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=题型三 判断三角形的形状【例3】(2010辽宁)在ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin
8、 B+sin C=1，试判断ABC的形状 分析：运用正弦定理解三角形，关键是巧妙的利用定理如何实行边角的互化，进而达到解题的目的解：(1)由已知，根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，故cos A=-，即A=120.12(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.又sin B+sin C=1，得sin B=sin C=，因为0B90，0C90，故B=C，所以ABC是等腰的钝角三角形 12变式3-1 22,tanAatanBb 在ABC中，已知 试判断ABC的形状 22tan
9、AatanBb，解析：由 根据同角三角函数之间的关系及正弦 定理可得 2222sinAsinAcosBasin AcosAsinBcosAsinBbsin BcosB，cosBsinAcosAsinB，sin 2A=sin 2B，2A,2B(0，)，2A=2B或2A=-2B，A=B或A+B=，ABC为等腰三角形或直角三角形.2变式3-2 20,AB BCAB(2011 湖南雅礼中学月考)在ABC中，若 试判断ABC的形状 解析：设A，B，C的对边分别为a，b，c，由题意 ca(-cos B)=-c2，acos B=c.由余弦定理，得a =c，a2+c2-b2=2c2，a2=c2+b2，ABC是
10、直角三角形 2222acbac题型四 正、余弦定理的综合应用16(1)求边AB的长；(2)若ABC的面积为 sin C，求角C的度数 22【例4】已知ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC.分析：综合应用正弦定理与余弦定理解题，首先要确定一 个恰当的三角形，其次要根据题中条件分析选用哪个定理 最方便本题中，由正弦定理得BC+AC=AB.由 SABC=sin C，得 BCACsin C=sin C.1216162解：(1)由题意及正弦定理，得AB+BC+AC=+1，BC+AC=AB，两式相减，得AB=1.22(2)由ABC的面积 BCACsinC=sinC，得BCAC=.121613
11、由余弦定理，得cos C=2222221222ACBCABACBCAC BCABAC BCAC BC，所以C=60.链接高考(2010 安徽)ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长 分别为a，b，c，cos A=12.13;AB AC (1)求(2)若c-b=1，求a的值 知识准备：1.知道三角形的面积公式；2.会用余弦定理求一边的长 解析：由cos A=，得sin A=又 bcsin A=30，bc=156.121321251.13131212(1)cos156144.13AB BCbcA(2)a2=b2+c2-2bccos A=(c-b)2+2bc(1-cos A)=a=5.1212 156(1)25,13
