1、1.3.1利用导数判断函数的单调性一、选择题1函数yx42x25的单调递减区间为()A(，1和0,1B1,0和1，)C1,1D(，1和1，)答案A解析y4x34x，令y0，即4x34x0，解得x1或0x1，所以函数的单调减区间为(，1)和(0,1)，故应选A.2函数f(x)ax3x在R上为减函数，则()Aa0Ba1Ca2Da答案A解析f (x)3ax210恒成立，a0.3(2015吉林市实验中学高二期中)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3
2、)答案D分析由x0可确定F(x)f(x)g(x)在x0时F(x)的单调性再结合g(3)0，可得结论解析设F(x)f(x)g(x)，当x0.F(x)当x0时为增函数F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)故F(x)为奇函数，F(x)在(0，)上亦为增函数已知g(3)0，必有F(3)F(3)0.构造如图的F(x)的图象，可知F(x)0的解集为x(，3)(0,3)故选D.4函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0B1C2D3答案B解析本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力f(x)2xx32,0x0在(0,1)上恒成立，f(x)在(0,1
3、)上单调递增又f(0)200210，f(0)f(1)0，f(x)为增函数，x(0,2)时，f (x)0，f(x)为增函数只有C符合题意，故选C.6设函数F(x)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f (x)满足f (x)e2f(0)，f(2016)e2016f(0)Bf(2)e2016f(0)Cf(2)e2f(0)，f(2016)e2f(0)，f(2016)e2016f(0)答案C解析函数F(x)的导数F(x)0，函数F(x)是定义在R上的减函数，F(2)F(0)，即，故有f(2)e2f(0)同理可得f(2016)e2016f(0)故选C.二、填空题7函数yln(x2x2)的单调递减区间为
4、_答案(，1)解析函数yln(x2x2)的定义域为(2，)(，1)，令f(x)x2x2，f (x)2x10，得x0，可得x；令f (x)0，可得3x0时，xf(x)f(x)0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减；又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)上单调递增，且g(1)g(1)0.当0x0，则f(x)0；当x1时，g(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.12(20142015北京西城区期末)已知函数f(x)及其导数f (x)，若存在x0，使得f(x0)f (x0)，则称x0是f(x)的一个“巧
5、值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是()f(x)x2，f(x)ex，f(x)lnx，f(x)tanx，f(x)xA2B3C4D5答案B解析中的函数f(x)x2，f (x)2x，要使f(x)f (x)，则x22x，解得x0或2，可见函数有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则exex，由对任意的x，有ex0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则lnx，由函数f(x)lnx与y的图象有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则tanx，即sinxcosx1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于中的函数，要使f
6、(x)f (x)，则x1，即x3x2x10，设函数g(x)x3x2x1，g(x)3x22x10且g(1)0，显然函数g(x)在(1,0)上有零点，原函数有巧值点，故正确，选C.13(20152016临沂质检)函数f(x)的定义域为R，f(2)2017，对任意xR，都有f (x)x22013的解集为()A(2,2)B(2，)C(，2)D(，)答案C解析令F(x)f(x)x22013，则F(x)f (x)2x0，F(x)在R上为减函数，又F(2)f(2)42013201720170，当xF(2)0，不等式f(x)x22013的解集为(，2)14已知函数yxf (x)的图象如图(1)所示(其中f (
7、x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，yf(x)的图象大致是()答案C解析当0x1时xf (x)0，f (x)1时xf (x)0，f (x)0，故yf(x)在(1，)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.二、填空题15已知函数f(x)x3ax2(2a3)x1.(1)若f(x)的单调减区间为(1,1)，则a的取值集合为_(2)若f(x)在区间(1,1)内单调递减，则a的取值集合为_答案(1)0(2)a|a0解析f (x)3x22ax2a3(x1)(3x2a3)(1)f(x)的单调减区间为(1,1)，1和1是方程f (x)0的两根，1，a0，a的取值集合为0(2)f(x)在区间(1,1)内
8、单调递减，f (x)1，a0，a的取值集合为a|a0)内图象不间断的函数f(x)满足f(x)f(x)0，函数g(x)exf(x)，且g(0)g(a)0，又当0x0，则函数f(x)在区间a，a内零点的个数是_答案2解析f(x)f(x)0，f(x)为偶函数，g(x)exf(x)，g(x)exf (x)f(x)0，g(x)在0，a上为单调增函数，又g(0)g(a)0，f(x)在(，1)上是增函数；当x(1，1)时，f (x)0，f(x)在(1，)上是增函数(2)由f(2)0得a.当a，x(2，)时，f (x)3(x22ax1)3(x2x1)3(x)(x2)0，所以f(x)在(2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是，)18(20142015山师附中学分认定考试)已知函数f(x)alnxx(a0)若函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y0垂直(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解析(1)f (x)1，f (1)2，2a2a30，a0，a.(2)f (x)1，当x(0，)时，f (x)0，f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)