1、第七节幂函数三年1考高考指数:1.了解幂函数的概念；2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,的图象，了解它们的变化情况.1.高考主要考查幂函数的概念、图象与性质，单独考查的频率较低.2.常与函数的性质及二次函数、指数函数、对数函数等知识交汇命题.3.题型多以选择题、填空题的形式出现，属低中档题.1.幂函数的概念(1)解析式：_(2)自变量：_(3)幂指数：_(4)幂的系数：_y=xx1【即时应用】(1)判断下列函数是否是幂函数(请在括号内填是或否)y=()y=2x-1 ()y=(x-1)2 ()()(2)已知点M()在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为_.【解析】(2)设f(x)=
2、x(R),则即答案：(1)是否否是(2)f(x)=2.幂函数的图象幂函数的图象如下：y=xy=x2y=x3y=x2y=x-1y21-1-2O1x2-2-1y=x-1【即时应用】(1)判断下列命题是否正确(请在括号内填或)幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)；()幂函数的图象不可能在第四象限；()n=0时，函数y=xn的图象是一条直线；()幂函数y=xn，当n0时是增函数；()幂函数y=xn，当n0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小.()(2)图中所示曲线为幂函数y=xn在第一象限的图象，则c1、c2、c3、c4的大小关系是_.【解析】(1)当0时，幂函数不过点(0,0)，故错，正
3、确.当x=0时无意义，所以错.当n=2时，函数在定义域上不单调，所以错,正确.(2)由幂函数的图象特点知，当自变量x1时，幂指数大的函数值较大，故有c1c2c4c3.答案：(1)(2)c1c2c4c33.幂函数的性质函数性质y=xy=x2y=x3定义域值域奇偶性单调性定点RRR0,+)R0,+)R0,+)奇偶奇非奇非偶奇增增增（1，1）【即时应用】(1)判断下列函数在(-,0)上是否是单调递减的函数(请在括号中填是或否).f(x)=x-2()f(x)=x-1()f(x)=()f(x)=x3()(2)设-1,1,3,则使函数y=x的定义域为R且为奇函数的所有值为_.【解析】(1)结合各函数的简图
4、可知在(-,0)上单调递减.(2)经验证知1，3符合.答案：(1)否是否否(2)1，3幂函数概念的应用【方法点睛】1.幂函数解析式的结构特征(1)指数为常数；(2)底数为自变量x；(3)幂系数为1.2.判定及应用幂函数的方法要判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足1中的三个特征.【提醒】区分幂函数与指数函数的关键是自变量的位置在底数上还是在指数上.【例1】已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+)上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数.【解题指南】利用幂函数必须满足的三个特征，构建关于m的式
5、子求解(1)(2)；利用正比例函数、反比例函数的定义，构建关于m的方程，求解(3)(4).【规范解答】(1)f(x)是幂函数，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.(2)若f(x)是幂函数，且又是(0,+)上的增函数，则(3)若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1,解得此时m2-m-10,故(4)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,则此时【反思感悟】幂函数y=x(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y=x+1,y=x2-2x等都不是幂
6、函数.幂函数的图象与应用【方法点睛】幂函数y=x图象的特征(1)的正负：0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸.(3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内；(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.【例2】若点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，定义试求函数h(x)的最大值以及单调区间.【解题指南】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，只需作出其图象,数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h(x)在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值【规
7、范解答】设幂函数为f(x)=x，因为点在f(x)的图象上，所以所以=2，即f(x)=x2；又设g(x)=x，点在g(x)的图象上，所以(2)=，所以=2，即g(x)=x2.在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示：则有：根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是(，1)和(0，1)，单调递减区间是(1，0)和(1，+).【反思感悟】解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质去确认与应用，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.幂函数的性质与应用【方法点睛】1.比较幂值大小的类型及方法(1)当幂的底数相同，指
8、数不相同时，可以利用指数函数的单调性比较；(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；(3)当幂的底数与指数都不同时，一种方法是作商，比较商值与1的大小关系，确定两个幂值的大小关系；另一种方法是找中介值，即找中间量，通过比较两个幂值与中间量的大小，确定两幂值的大小关系；(4)比较多个幂值的大小，一般也采用中间量法，即先判断每个幂值与0、1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再比较大小，最后确定各数间的大小关系.2.幂函数y=x的性质(1)定义域、值域及奇偶性,要视的具体值而定.(2)当0时，幂函数在(0，+)上是增函数，当0时，幂函数在(0，+)上是减函
9、数.【例3】(1)试比较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小.(2)已知幂函数y=x3m-9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，+)上函数值随x的增大而减小，求满足的a的取值范围.【解题指南】(1)前三个同指数的幂值用幂函数y=x0.2的单调性比较，而后两个同底数的幂值利用指数函数y=2x的单调性比较.(2)利用幂函数的性质，构建出m的不等式，并求出m的值，再根据其单调性，由关于a的已知不等式，构建a的不等式，从而求出a的范围.【规范解答】(1)因为函数y=x0.2在R上为增函数，且0.20.42,0.20.2 0.40.220.2,又函数y=2x在R上为增函数，且0.21
10、.6,20.221.6,0.20.20.40.220.221.6.(2)函数在(0，+)上递减，3m-90，m3-2a0或0a+13-2a或a+103-2a，解得a-1或a的取值范围是a|a-1或.【反思感悟】1.有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.2.本例(2)集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解答该类问题的关键是弄清幂函数的概念及性质，构建待求参数的方程或不等式并注意对参数的讨论，来求解问题.【易错误区】幂函数图象与性质的应用误区【典例】(2012南京模拟)已知幂函数(mZ)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，则m的值
11、为_，幂函数的解析式为_.【解题指南】先根据幂函数的图象与x轴、y轴都无公共点这一条件构建关于m的不等式求出m的取值范围，再根据幂函数图象关于y轴对称，确定出m的具体值，从而得到幂函数的解析式.【规范解答】因为幂函数(mZ)的图象与x轴、y轴都无公共点.所以m2-2m-30,解得-1m3.又mZ,m=-1,0,1,2,3,而的图象又关于y轴对称，m2-2m-3为偶数.当m=-1时，m2-2m-3=0，为偶数；当m=0时，m2-2m-3=-3，为奇数；当m=1时，m2-2m-3=-4，为偶数；当m=2时，m2-2m-3=-3，为奇数；当m=3时，m2-2m-3=0，为偶数.综上m=-1,1,3.
12、故幂函数的解析式为y=x-4或y=1(x0).答案：-1或1或3 y=x-4或y=1(x0)【阅卷人点拨】通过对试卷及阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议误区警示在解答本题时，有两大误区：(1)本题易漏掉m2-2m-3=0的情况，此时y=x0(x0)与x轴、y轴也无交点，且关于y轴对称.(2)对函数y=1(x0)忽视了注明“x0”而失误.备考建议利用幂函数图象与性质时，还有以下几个误区，在备考中要高度关注：(1)画的图象太粗糙而致误；(2)忽视函数的定义域，产生增根；(3)将幂函数的单调性记混，造成结论错误.1.(2011陕西高考)函数的图象是()【解析】选B.因为当x1时，
13、x；当x=1时，x=,所以A、C、D错误，故选B.2.(2012哈尔滨模拟)幂函数f(x)=x3m-5(mN)在(0,+)上是减函数，且f(-x)=f(x)，则m可能等于()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选B.逐个验证知m=1,故选B.3.(2012泉州模拟)下列关系式中正确的是()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.因为函数在(0,+)上为增函数且又函数在R上为减函数且4.(2012厦门模拟)已知f(x)=则f(x)是()(A)奇函数且在(0，+)上单调递增(B)奇函数且在(0，+)上单调递减(C)偶函数且在(0，+)上单调递增(D)偶函数且在(0，+)上单调递减【解析】选B.f(x)=即f(x)为奇函数.又f(x)=的幂指数 0，f(x)在(0，+)上为减函数.
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