1、3.1.5空间向量的数量积课时目标1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用1两向量的夹角如图所示，a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作a，b，则_叫做向量a与向量b的夹角，记作_如果a，b，那么向量a，b_，记作_2数量积的定义已知两个非零向量a，b，则_叫做向量a，b的数量积，记作ab.即ab_.零向量与任一向量的数量积为0.特别地，aa|a|a|cosa，a_.3数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律：(a)b(ab) (R)；abba；a(bc)abac.4数量积的坐标运算若a(a1，a2，a3)，
2、b(b1，b2，b3)，则(1)ab_；(2)ab_；(3)|a|_；(4)cosa，b_.一、填空题1若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的_条件2已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|_.3已知向量a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab|且0，则_.4若a、b、c为任意向量，下列命题是真命题的是_(写出所有符合要求的序号)若|a|b|，则ab；若abac，则bc；(ab)c(bc)a(ca)b；若|a|b|，且a与b夹角为45，则(ab)b.5已知向量a(2，3,0)，b(k,0,3)，若a与b成120角，则k_.6.设O为坐标原点，向量(1,2,3)，
3、(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为_7向量(a3b)(7a5b)，(a4b)(7a2b)，则a和b的夹角为_8若向量a，b满足|a|1，|b|2，且a与b的夹角为，则|ab|_.二、解答题9.如图，已知在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC.求证：OABC.10.在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且MB2AM，CNND，求MN.能力提升11.如图所示，已知线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB，且AB7，ACBD24，线段BD与所成的角为30，求CD的长12在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，BCA9
4、0，AA12, 并取A1B1、A1A的中点分别为P、Q.(1)求的长；（2）求cos，cos，并比较，与，的大小；(3)求证：.1数量积可以利用基底或坐标两种形式进行运算选择基底时，应注意三个基向量的长度，两两之间的夹角应该是确定的；当所选基向量两两互相垂直时，用坐标运算更为方便2利用数量积可以求向量的长度和向量的夹角31.5空间向量的数量积知识梳理1AOBa，b互相垂直ab2|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b|a|24(1)a1b1a2b2a3b3(2)ab0a1b1a2b2a3b30(3)(4)作业设计1充分不必要解析ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，但
5、当a与b反向时，不能成立2.解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos60913.|a3b|.33解析a(0，1,1)，b(4,1,0)，ab(4,1，)|ab|，16(1)2229.3或2.0，3.4解析两个向量的等价条件是模长相等且方向相同，故命题错；ab|a|b|cosa，b，而ac|a|c|cosa，c，于是由abac推出的是|b|cosa，b|c|cosa，c，故命题错；向量的数量积运算不满足结合律，故命题错；(ab)babb2b2b20，故命题正确5解析cosa，b，得k.又k0，所以k.6(，)解析设Q(，2)，则(1，2，32)(2，1，22)621610，当取最小
6、值时，所以Q(，)760解析由(a3b)(7a5b)0，(a4b)(7a2b)0，得7a216ab15b20,7a230ab8b20，解得a2b2，b22ab，cosa，b，a，b60.8.解析|ab|.9证明OBOC，ABAC，OAOA，OACOAB.AOCAOB.()|cosAOC|cosAOB0，OABC.10解如图所示，|a，把题中所用到的量都用向量、表示，于是()().又|2cos60|2a2，222a2a2a2a2a2.故|a，即MNa.11解由AC，可知ACAB，过点D作DD1，D1为垂足，连结BD1，则DBD1为BD与所成的角，即DBD130，BDD160，AC，DD1，ACDD1，60，120.又，|2()2|2|2|2222.BDAB，ACAB，0，0.故|2|2|2|222427224222424cos120625，|25.12(1)解以C为原点O，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)(1，1,1)，(0,1,2)，(1，1,2)，(1,1,2)，.|.(2)解0121，|，|，cos，.又0143，|，|，cos，.又0，(3)证明(1,1,2)0，.