1、2.4 函数的奇偶性与周期性本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有_,那么函数f(x)是偶函数关于_对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有_,那么函数f(x)是奇函数关于_对称f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点目录2.函数的周期性(1)周期的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_，则称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为函数f(x)的周期(2)最小正周期对于一个周期函数f(x
2、)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的_f(xT)f(x)最小正周期目录思考探究1奇、偶函数的定义域有什么特点？提示：奇、偶函数的定义域在数轴上都关于原点对称2存在既是奇函数又是偶函数的函数吗？提示：存在，f(x)0(xR)目录课前热身1(教材改编)设f(x)x32x，g(x)2x43x2，则yf(x)g(x)是()A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数答案：A目录答案：A目录答案：A目录4(2012高考上海卷)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.解析：yf(x)x2是奇函数，f(x)(x)2f(x)
3、x2，f(x)f(x)2x20.f(1)f(1)20.f(1)1，f(1)3.g(x)f(x)2，g(1)f(1)2321.答案：1目录5f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f(3)_.答案：0目录考点探究讲练互动考点突破考点突破目录例1【思路分析】可从定义域入手，在定义域关于原点对称情况下，考查f(x)与f(x)的关系目录目录(4)易知f(x)的定义域为R.f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x)，f(x)f(x)，即f(x)是偶函数【误区警示】对于(1)只代入x而得出偶函数结论，对于(2)易丢掉定义域，对于(3)只判断一部分目录考点2 函数的周期性函数的周期性是指函数的重复
4、性变化，是对于定义域内的所有自变量x来说的，不是指某几个特定的自变量，若T是它的一个周期，则nT(nZ，n0)也是该函数的一个周期设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x2)f(x)，(1)求f(0)的值，f(2)的值(2)证明f(x)是周期函数，并求最小正周期【思路分析】(1)x0f(0)f(2)；(2)f(x4)f(x2)T.例2目录【解】(1)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)f(0)，f(0)0.又f(x2)f(x)，当x0时，f(2)f(0)0.(2)证明：由f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是最小正周期为4的周期函数目录目录跟踪训练1(2
5、012高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335B338C1678 D2012解析：选B.由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338，故选B.目录例3考点3 函数性质的综合应用有关函数问题，要充分考虑到它的所有性质：定义域
6、、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性、并结合图象综合运用目录【思路分析】(1)x1x21f(1)；(2)令x11，x2xf(x)f(x)；(3)关于x1对称f(x)f(2x)f(x)f(2x)【解】(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)为偶函数目录【思维总结】对于抽象函数奇偶性的判定通过赋值寻找f(x)与f(x)的关系目录跟踪训练2(2011高考陕西卷)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则yf(x)的
7、图象可能是()目录解析：选B.由于f(x)f(x)，所以函数yf(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以A、C错误；由于f(x2)f(x)，所以T2是函数yf(x)的一个周期，D错误所以选B.目录方法技巧1奇、偶函数的性质(1)设函数f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们公共定义域上有：当f(x)，g(x)均为奇函数时，f(x)g(x)是奇函数，f(x)g(x)是偶函数；当f(x)，g(x)均为偶函数时，f(x)g(x)是偶函数，f(x)g(x)是偶函数；奇函数的反函数也是奇函数(2)若f(x)是偶函数f(x)f(|x|)；若奇函数f(x)的定义域内含有数0，则必有f(0)0.方
8、法感悟方法感悟目录(3)若函数f(x)为奇函数，在a，b上为增函数，则f(x)在b，a上为增函数若函数f(x)为偶函数，在a，b上为增函数，则f(x)在b，a上为减函数(4)函数奇偶性的判定方法利用定义f(x)是奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)0.f(x)是偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)0.利用图象的对称性f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称目录目录(2)若f(x)同时关于xa与xb对称(ab)，则f(x)的一个周期为2(ba)(3)若f(x)关于xa对称，同时关于点(b,0)对称(ba)，则f(x)的一个周期为4(ba)(4)若f
9、(x)关于(a,0)对称，同时关于(b,0)对称，则f(x)的一个周期为2(ba)目录失误防范1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断分段函数奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性目录3奇偶性和周期性都是函数的整体性质奇偶性是解决函数图象的对称性问题，周期性是解决函数图象的平移问题单调性是函数的局部性质，要注意区分对于偶函数yf(x)，f(a)f(b)f(|a|)f(|b|)4并不是所有的周期函数都有最小正周期目录考向瞭望把脉高考命题预测目录典例透析例【答案】D目录【名师点评】本题的技巧就是指数的恒等变形，f(x)2x2x，至此结论显而易见若本题直接写f(x)是比较麻烦的，作为选择题此解法是不好的当然本题可逐个排除A、B、C.此题易错选为A，其原因是化简出错本题外观上看是考查图象对称性，其实质是函数奇偶性的定义和对称性，出题别致，属于中、低档题目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
