1、百校联盟2016年浙江省高考最后一卷（押题卷）理科数学(第一模拟)一、选择题：共8题 1若命题p:x00,|x0|1,则命题p的否定是A.x0,|x|1B.x0,|x|1C.x0,|x|0,|x|1.故选A. 2已知集合A=x|y=lg(x2-3x-4),B=y|yt.若(RA)B只有一个子集,则实数t的取值范围为A.(-1,+)B.-1,+)C.(4,+)D.4,+)【答案】D【解析】本题主要考查对数函数的定义域、集合的运算、集合的子集等基础知识,考查考生的基本运算能力.由于A=x|x2-3x-40=x|x4,所以RA=x|-1x4,因为(RA)B只有一个子集,所以(RA)B=,所以实数t的
2、取值范围为t4. 3已知sin(+)+sin =-,则cos(+)的值为A.-B.C.-D.【答案】B【解析】本题主要考查三角恒等变换.解答本题时要注意根据两角和的三角公式以及诱导公式,结合角与角之间的关系灵活处理.因为sin(+)+sin =-,所以sin(+)+sin =sin +cos =sin(+)=-,所以sin(+)=-.因为(+)-(+)=,所以cos(+)=cos(+)=-sin(+)=.故选B. 4设a,b,c是三条不同的直线,是三个不同的平面.已知=a,=b,=c,则下列四个命题中不一定成立的是A.若a,b相交,则a,b,c三线共点B.若a,b平行,则a,b,c两两平行C.
3、若a,b垂直,则a,b,c两两垂直D.若,则a【答案】C【解析】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等,意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力.解题时,对选项逐个验证,可以借助线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理与性质定理等.空间中点、线、面的位置关系是客观题的常考题,借助几何模型,强化空间想象能力,完善逻辑推理,是解题成功的关键.选项A显然正确;对于选项B,三个平面两两相交,若a,b平行,则a,b,c两两平行;对于选项D,如图,在平面内作直线mb,在平面内作直线nc,因为,所以m,n,所以mn.又m,n,所以n,又n,=a,所以na.又n,所以a.
4、故选C. 5已知数列an为等比数列,则下列结论正确的是A.a1+a32a2B.若a3a1 ,则a4a2C.若a1=a3,则a1=a2D.+2【答案】D【解析】本题主要考查等比数列的性质,考查考生对基础知识的掌握情况.对于选项A,当数列an的公比为-,首项为-1时,a1+a3a1 ,但a40,b0)的左、右焦点分别为E,F,以OF(O为坐标原点)为直径的圆C交双曲线于A,B两点,AE与圆C相切,则该双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的定义、离心率,余弦定理等知识,考查考生的运算求解能力和数形结合思想.解题时,先求出cos ACE=,在ACF中计算得到|AF|=c
5、,最后根据双曲线的定义便得离心率e.连接AC,由于|OC|=|CA|=|CF|=,|OE|=c,所以|EC|=,在RtEAC中,|AE|=c,cosACE=.连接AF,在ACF中,由余弦定理得|AF|=c,根据双曲线的定义,得c-c=2a,所以双曲线的离心率e=.故选C. 7已知实数x,y满足,目标函数z=y-2x,则A.z无最大值,z的最小值为-2-2B.z的最大值为4,z无最小值C.z的最小值为-2-2,最大值为4D.z既无最大值也无最小值【答案】C【解析】本题主要考查不等式组所表示的平面区域等知识,充分考查了数形结合的数学思想.解题的关键是将题中的约束条件转化为熟悉的约束条件,画出不等式
6、组所表示的可行域,然后求最大值与最小值.x2+y24(x+y)可化为(x-2)2+(y-2)28(x+y0),可行域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆,且x0,y0,xy, x+y0.由z=y-2x,得y=2x+z,问题等价于求z的最小值和最大值,作出直线y=2x并平移,如图,当直线y=2x+z与可行域相切时,设切点为Q,由+=(2,2)+(,-)=(2+,2-),所以zmin=yQ-2xQ=2-2(2+)=-2-2.易得R(0,4),则zmax=yR-2xR=4,所以目标函数z=y-2x的最小值为-2-2,最大值为4. 8若关于x的方程k(x-1)2=有4个不同的实数根,且其所有实数根的和为
7、S,则实数S的取值范围为A.(2,)B.(3,)C.(2,)D.(3,)【答案】B【解析】本题主要考查方程的根、二次函数的图象等知识,意在考查考生的分类讨论、函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想.显然x=1是方程的1个根.当x1时,k=所以由题意,函数y=与y=的图象有3个不同的交点,由图可知,04.不妨设方程的4个实数根分别为x1,x2,x3,x4,且x1x2x31时),得x=,所以1x4,故3S0时,g(x)单调递增,当x0,cos C0,sin C=cos C,tan C=,C=.(2)由2sin 2A+sin(2B+C)=sin C得,2sin 2A=sin C-sin(2B+C
8、),4sin Acos A=sin(A+B)-sin(-A)+B=sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Bcos A.当cos A=0时,A=,此时B=,c=2,b=,SABC=bc=.当cos A0时,sin B=2sin A,b=2a.由c2=a2+b2-2abcos C得,4=a2+b2-ab.联立,得, SABC=absin C=.综上所述,ABC的面积为.【解析】本题主要考查三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换等知识,意在考查考生的运算求解能力.第(1)问,先将2sin A转化为csin A,再根据边角关系化简得到sin C=cos C,最后
9、求出角C;第(2)问,先用内角和定理、三角恒等变换将2sin 2A+sin(2B+C)=sin C转化为4sin Acos A=2sin Bcos A,再结合cos A是否等于0分类讨论,最后利用三角形的面积公式求解.【备注】把三角恒等变换、解三角形结合起来是近几年高考考查三角部分的主要命题方向之一,但问题的核心依然是三角恒等变换及正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及三角形面积公式的运用.在解决这类问题时,只要抓住问题的本质,把三角形的问题归结到三角恒等变换上,灵活地选用三角恒等变换公式是不难解决的.17在四棱锥P-ABCD中,ADBC,ABC=APB=90,点M是线段AB上的点,且PMCD
10、,AB=BC=2PB=2AD=4BM.(1)证明:平面PAB平面ABCD;(2)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值.【答案】(1)由AB=2PB=4BM,APB=90,得PMAB,又PMCD,且AB与CD相交,所以PM平面ABCD,又PM平面PAB,所以平面PAB平面ABCD.(2)解法一由(1)及ADBC,ABC=90可知,DA平面PAB,延长BA与CD交于点H,连接PH,作ANPH于点N,连接ND,则平面PAB与平面PCD的夹角是AND.设BM=1,则AB=4,PB=2,AD=2,PM=,易知HANHPM,故AN=,DN=,所以sinAND=,故平面PAB与平面PCD夹角的正弦值是.解法
11、二如图建立空间直角坐标系,易知平面PAB的一个法向量为n=(1,0,0),设BM=,则P(0,0,t),C(2t,0),D(t,-t,0),因此=(2t,-t),=(-t,-2t,0).设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),则由m=0,m=0,得x+2y=0,4x+y-z=0,即m=(2,-,7)为平面PCD的一个法向量,所以cos=,故平面PAB与平面PCD夹角的正弦值是.【解析】本题以四棱锥为载体,主要考查空间面面位置关系的证明及二面角的求解等,意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.第(1)问比较简单,由PMAB,PMCD,得到PM平面ABCD,从而得到平面PAB平面
12、ABCD;第(2)问既可以用传统法“作、证、算”来解决,也可以用空间向量法解决.【备注】立体几何解答题的考查以空间线面位置关系(平行、垂直)的证明、空间角的求解为主.第(1)问是线面平行、垂直问题的证明或探求,一般寻找线线、线面、面面之间的关系进行灵活转化,要关注中点(中位线),在寻找解题思路时,建议采用分析法,从需要求证的结论逐步逆推到已知条件.第(2)问一般有两种方法(传统法和向量法),传统法需要关注“作、证、算”的推理论证过程;利用空间向量法来解决时,要当心不要算错,要熟记线面角、二面角公式.另外要提醒考生在备考时不要一味强调利用向量法解题,要加强空间想象能力和思维能力的训练,做到两者兼
13、顾.18已知函数f(x)=|ax2-(a+1)x+1|(aR).(1)当a=时,求函数f(x)在0,2上的单调区间;(2)当0a1时,对任意的x0,2,mf(x)恒成立,求实数m的最小值.【答案】(1)当a=时,f(x)=|x2-x+1|=|x2-4x+3|=|(x-2)2-1|,可知函数f(x)在0,1上单调递减,在(1,2上单调递增.(2)当a=0时,f(x)=|x-1|在0,2上的最大值为1.当00,=(a-1)20,若2,即0a时,f(x)max=max|f(0)|,|f(2)|=max1,|2a-1|,而|2a-1|1,所以f(x)max=1.若2,即a1时,f(x)max=max|
14、f(0)|,|f()|,|f(2)|=max1,|2a-1|,又a1,1,|2a-1|1,所以f(x)max=1.综上,m1,所以实数m的最小值为1.【解析】本题以绝对值函数为载体,考查函数的单调性与最值等,意在考查分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.第(1)问当a=时,化简函数f(x)的解析式,结合函数f(x)的大致图象即可求出单调区间;第(2)问考查函数的最值,关键是数形结合,对a=0,0ab0)的上顶点为(0,1),且上顶点到焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,过点M(0,m)(m0)的直线与椭圆C交于A,B两点,若
15、在直线y=-m上存在点N,使NAB为正三角形,求m的最大值.【答案】(1)由题意知,b=1,a=,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)显然,直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+m,与+y2=1联立,消去y,并化简得,(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,则判别式=100k2m2-4(1+5k2)(5m2-5)=100k2-20m2+200,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=. 设线段AB的中点为P(x0,y0),当k0时,直线PN:y-y0=-(x-x0)(k0),令y=-m,由y0=kx0+m,得点N的坐标为(2km+(k2+1)x0,-m),显
16、然k=0时也符合,所以|PN|=|kx0+2m|,|AB|=|x1-x2|=.由NAB为正三角形得|PN|=|AB|,所以|kx0+2m|=,两边同时平方可得(k+2m)2=()2-4,即()2=15,即m2(2+5k2)2=15(5k2+1-m2),得m2=,令1+5k2=t,则m2=,当且仅当t=4,即k2=时等号成立,此时=500,所以m的最大值为.【解析】本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识,意在考查数形结合、转化与化归等数学思想方法,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.第(1)问根据题意易得方程;第(2)问先分析得到直线AB的斜率存在,再设直线AB的方程,
17、与椭圆的方程联立,得到x1+x2=-,x1x2=,再得到点N的坐标,根据NAB为正三角形得|PN|=|AB|,得到m2=,进而求解.【备注】近几年的高考题中,解析几何一般作为倒数第二题出现,重点考查圆锥曲线的方程、几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系以及与圆结合的综合问题等.一般地,第(1)问是求圆锥曲线的方程,属于送分题,千万不要失分;第(2)问一般考查数学思想方法,通常在数形结合下利用坐标,将问题转化为弦长问题、距离问题、方程问题等,一元二次方程根与系数的关系是解决问题的常用工具,要熟练掌握.20已知数列an满足: a1=a2=1,=(nN*),是常数.(1)当=2时,求an+an+1-2n
18、的值;(2)记bn=an+an+1-n(nN*).(i)求数列bn的通项公式及数列an的前n项和Sn 的表达式;(ii)若2,求证:+.【答案】(1)当=2时,=2,即an+2an+1+an+2=4n+2,(an+an+1-2n)+an+1+an+2-2(n+1)=0,a1=a2=1,an+an+1-2n=0.(2)(i)易知bn+bn+1=0,bn=b1(-1)n-1=(2-)(-1)n-1,an+an+1=n+(2-)(-1)n-1,当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(an-1+an)=1+3+(n-1)+(2-)(1+1+1)=+(2-),当n为奇数时,Sn=a1+(a
19、2+a3)+(a4+a5)+(an-1+an)=1+2+4+(n-1)-(2-)(1+1+1)=1+-(2-) .Sn=.(ii)当n3且n为奇数时,Sn=1+-(2-)1+2=,当n为偶数时,Sn-(-2)+(2-)=(-2)0,+.当n3时结论显然成立,当n4时,+=+(+)+(+)+(+)=+)+.【解析】本题主要考查数列的通项公式、分组求和、裂项相消法求和等,意在考查转化与化归的数学思想,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.第(1)问通过构造(an+an+1-2n)+an+1+an+2-2(n+1)=0,得到an+an+1-2n=0;第(2)问同样构造an+an+1=n+(2-)(-1)n-1,然后结合分组求和、裂项相消法求和,进行放缩,最后得出结论.【备注】数列解答题一般有两问到三问,常以等差数列、等比数列的通项公式、求和为切入点,将数列与函数、不等式等知识综合起来,这类题一般对逻辑推理能力的要求较高;也可以给出一个递推关系式,在此基础上设计几个小问,此时,小问中设出的数列往往是特殊数列,这些小问中提供的条件实质就是解题的风向标、指路石,要充分应用,且各小问有时是一环扣一环,注意前面证明的结论在后面小问中的应用.
