1、百校联盟2016年全国卷II高考考试大纲调研卷文科数学（第五模拟）一、选择题：共12题1已知集合A=x|y=,集合B=x|0,则AB=A.AB.BC.-1,1D.-1【答案】A【解析】本题考查集合间的包含关系等基础知识.解题时注意分式中分母不为0.集合A=x|y=x|1-x20=x|-1x1,集合B=x|0=x|-1x1,故AB=A. 2已知复数z=+(i是虚数单位)的实部与虚部的和为1,则实数m的值为A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】本题考查复数的基础知识与基本运算.解题时对复数进行化简,进而求出m的值.由已知z=+,则+=1,得m=1,故选C. 3在等比数列an中,a3,a15是
2、方程x2-6x+8=0的根,则的值为A.2B.4C.-2或2D.-4或4【答案】A【解析】本题考查等比数列的基本运算及性质.求解时一定要注意等比数列中奇数项的符号相同的关系,否则容易出现错解.a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,a3a15=8,a3+a15=6,因而a3,a15均为正,由等比数列的性质知,a1a17=a3a15=8,a9=2,=2,故选A. 4已知在平面中,A(1,0),B(1,),O为坐标原点,点C在第二象限,且AOC=120,若=-2,则的值为A.-1B.2C.1D.-2【答案】C【解析】本题考查向量的运算、向量的夹角公式等,利用点C所在的象限,求出参数的范围,再利用
3、AOC的大小求出.由已知得,=(1,),=(1,0),则=-2=(-2,),又点C在第二象限,故-20,则00,b0)的两条渐近线与抛物线y=x2+1相切,则双曲线的离心率为A.B.C.2D.【答案】A【解析】本题考查双曲线的基础知识,考查运算求解能力及灵活变通能力.解析几何是高考的重点,而双曲线在选择、填空题中是必考内容之一,双曲线的复习以基础为主,但要注意其综合性.双曲线的渐近线为y=x,代入抛物线方程得,x2x+1=0,=-4=0,故e2=+1=5,e=,故选A. 6在长度为10的线段AB上任取一点C(异于A,B),则以AC,BC为半径的两圆面积之和小于58的概率是A.B.C.D.【答案
4、】B【解析】本题考查几何概型、一元二次不等式的解法等基础知识,考查考生的运算求解能力.设AC=x,则BC=10-x,0x10.由题意知,x2+(10-x)258,即x2-10x+210,解得3xb0)及圆O:x2+y2=a2,如图过点B(0,a)与椭圆相切的直线l交圆O于点A,若AOB=60,则椭圆的离心率为A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查椭圆的基础知识,考查直线与圆、椭圆的位置关系等,突出对转化能力、运算能力等的考查.求解时将直线方程与椭圆方程联立,确定相切时直线的斜率,进而求出直线与圆的交点坐标,利用向量求角的余弦值,得出离心率,也可利用直线l的斜率与离心率e的关系数形结合求
5、解.由已知,显然直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=kx+a,则由得(b2+a2k2)x2+2a3kx+a2c2=0,=4a6k2-4a2c2(b2+a2k2)=0,结合图形解得k=,即直线l的方程为y=x+a.通解y=x+a与x2+y2=a2联立得xA=,yA=,由于AOB=60,因而cosAOB=,即,得e=,故选A.优解故直线l的斜率为=e,由于AOB=60,设AB与x轴交于点C,则在RtOBC中,OCB=30,因而e=tanOCB=,故选A. 12已知f(x)是定义在(0,)上的函数,其导函数为f(x),若恒有f(x)f()B.f(1)f()D.f()f()【答案】D【解析】本题
6、将三角知识、函数与导数相结合,考查角度新颖,对考生的综合能力要求较高.由f(x)f(x)tanx,且x(0,),知f(x)cosx0,g(x)在(0,)上为增函数,g()g(),也就是,f()x2),使得f(x1)-f(x2)4(x1-x2)成立,则实数a的取值范围为.【答案】(-,【解析】本题考查运用导数知识解决函数问题,考查考生的基本运算能力与分析、解决问题的能力.求解时构造函数,求得函数g(x)的最大值,即可求得a的取值范围.由题意可得,f(x)=alnx+x2+2x+1,f(x)=+2(x+1),由题意知,存在x0,使得f(x)4成立,即存在x0,使得a-2x2+2x成立,设g(x)=
7、-2x2+2x=-2(x-)2+,其最大值为,因而a. 15已知过球面上三点A,B,C的平面与球心的距离为球半径的一半,且ABC的三边长分别为3,4,5,则该球的表面积为.【答案】【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力及基本的运算能力,高考中对于与球相关知识的考查,往往结合球的内接柱、锥等几何体,考查球的表面积或体积的求解.设球的半径为R,由题意可知,R2=+,解得R2=,则球的表面积为4R2=. 16已知数列an的前n项和为Sn=n2,若a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+a2n-1a2n-a2na2n+1tn2对任意的nN*恒成立,则t的最大值为.【答案】-12【解析】本
8、题考查数列的知识,立意新颖,突出对考生综合能力的考查.由已知Sn=n2可得,n=1时,a1=1,n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,a1=1适合上式,因而数列an是公差为2的等差数列,a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+a2n-1a2n-a2na2n+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+a2n(a2n-1-a2n+1)=-4(a2+a4+a2n)=-4=-8n2-4n.若对任意的nN*不等式-8n2-4ntn2恒成立,则t-8恒成立,因而t-12,t的最大值为-12. 三、解答题：共8题17已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中c为最长边.(1)若sin2
9、A+sin2B=1,试判断ABC的形状;(2)若a2-c2=2b,且sinB=4cosAsinC,求b的值.【答案】(1)由已知,sin2A+sin2B=1,sin2A=1-sin2B=cos2B,由于c为最长边,A,B均为锐角,则sinA=cosB.sinA=sin(-B),A=-B,即A+B=.故ABC为直角三角形.(2)由已知sinB=4cosAsinC,结合正弦定理和余弦定理得b=c,即b2=2(a2-c2),又a2-c2=2b,b2=4b,又b0,b=4.【解析】本题考查正、余弦定理,同角三角函数之间的关系等知识.第(1)问通过同角三角函数的关系式、诱导公式判断三角形的形状;第(2)
10、问利用正、余弦定理求b的值.【备注】正、余弦定理,三角形的面积公式是解三角形的必要工具,求解三角形问题时常常需要利用正、余弦定理实现边角转换,在边角转换过程中,一定不要省略步骤,否则容易造成不必要的错误.另一方面,要注意三角公式中的变式应用,如sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)等.18对甲、乙两名同学的8次数学测试的成绩(满分60分)进行统计分析,记录的成绩如下:甲:52,51,49,48,54,48,49,49乙:60,53,50,45,56,48,43,4
11、5(1)画出两名同学成绩的茎叶图,并分别求两名同学成绩的平均值和方差,对两名同学的成绩进行统计分析;(2)现从甲同学的成绩中抽取一数据x(x50),从乙同学的成绩中抽取一数据y(y50),求x-y10的概率.【答案】(1)茎叶图如图所示.甲同学的平均成绩为=50分,乙同学的平均成绩为=50分,甲同学成绩的方差为(52-50)2+(51-50)2+(49-50)2+(48-50)2+(54-50)2+(48-50)2+(49-50)2+(49-50)2=4,乙同学成绩的方差为(60-50)2+(53-50)2+(50-50)2+(45-50)2+(56-50)2+(48-50)2+(43-50)
12、2+(45-50)2=31,由于平均成绩反映的是两名同学的平均水平,因而可知甲、乙两名同学的平均水平相当,而甲同学成绩的方差远远小于乙同学成绩的方差,因而从考试发挥的稳定程度上看,甲同学的成绩更稳定.(2)现从甲同学的成绩中抽取一数据x(x50),有51,52,54三种可能,从乙同学的成绩中抽取一数据y(y50),有45,48,43,45四种可能,因而总的可能结果有(51,45),(51,48),(51,43),(51,45),(52,45),(52,48),(52,43),(52,45),(54,45),(54,48),(54,43),(54,45),共12种情况,设“x-y10”为事件M,
13、则M所包含的情况有(54,43),共1种,故P(M)=.【解析】本题考查茎叶图、古典概型概率的求法等知识,考查考生的运算能力及分析问题、解决问题的能力.【备注】分析近几年高考试题,概率与统计往往设计在同一个题目中,体现知识间的整合,古典概型概率的求法仍是考查的重点.在解题中需注意:认真审题,理清已知条件中的信息,包括茎叶图、频率分布直方图、频数分布表、样本数据等,将其转化成解题必备的数学信息;分清所求概率类型,是古典概型,还是几何概型等;将随机事件的可能结果列全,找准所求事件包含的基本事件个数,避免由于思维不缜密造成不必要的失分;要注重对基本概念、基本性质的理解,并提高知识整合能力,特别是提高
14、知识点交汇问题的求解能力,提升阅读理解能力.19如图,将菱形AECF沿对角线EF折叠,分别过E,F作AC所在平面的垂线ED,FB,垂足分别为D,B,四边形ABCD为菱形,且BAD=60.(1)求证:FC平面ADE;(2)若AB=2BF=2,求该几何体的体积.【答案】(1)由题意知FBDE,FB平面ADE,DE平面ADE,FB平面ADE,又BCAD,BC平面ADE,AD平面ADE,BC平面ADE.FBBC=B,BC,FB平面BFC,平面BFC平面ADE,又FC平面BFC,FC平面ADE.(2)连接BD,AC,且BDAC=O,四边形ABCD为菱形,ACBD,又DE平面ABCD,ACED,又BDED
15、=D,AC平面BDEF,又OC=OA,VC-BDEF=VA-BDEF,AB=2BF=2,BAD=60,S四边形BDEF=12=2,OC=,VC-BDEF=2,该几何体的体积为.【解析】本题以通过折叠形成的不规则几何体为载体,考查空间线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明及空间几何体体积的求解.解题时要注意解题过程的规范性与全面性.【备注】高考立体几何解答题主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明,且多为中低档题,因此在复习时,要做到以下三点:(1)抓住重点, 立体几何的重点是线线、线面、面面平行与垂直的证明及简单几何体表(侧)面积、体积的计算,考生要强化训练,熟悉证明及求解的方法;(2)
16、注重规范,即注重立体几何证明中书写的规范性,包括语言的规范性、过程的规范性等,对于这一点,考生要加强针对性训练,做到没有遗漏;(3)提升能力,在复习过程中,考生要不断培养自己的空间想象能力、逻辑思维能力和推理能力.20已知点P是抛物线C:y2=x在第四象限内的点,抛物线在点P处的切线l分别交x轴,y轴于不同的两点A,B.(1)若圆心在x轴上的圆M与切线l也相切于点P,且满足|PB|=|PM|,求圆M的标准方程;(2)在(1)的条件下,记过点A且与直线l垂直的直线为m,Q是抛物线C上的点,若点Q到直线m的距离最小,求点Q的坐标.【答案】(1)设P(t2,t),t0,f(x)为增函数,当x(e,+
17、)时,f(x)0,所以(t)=2lnt-+1在其定义域上单调递增,即h(t)=2lnt-+1单调递增.又h(1)=0,所以当t(0,1)时,h(t)0,h(t)单调递增,所以h(t)的最小值为h(1)=0,所以(2t-1)lnt-t+1=0仅有一解t=1,此时a=1,切点为M(1,0).【解析】本题主要考查利用导数研究曲线的切线,函数的单调性、极值等,考查考生的运算求解能力.【备注】函数的单调性、极值、最值的应用是高考命题的重点与热点,导数与不等式等结合的题目成为整套试卷的压轴题,并且其难度不会再加大,会保持相对平稳,因此猜想2016年高考对函数单调性、极值、最值等仍会重点考查,而且已知条件中
18、函数表达式的结构不会太复杂.22如图,在ABC中,BAC的平分线交BC于D,交ABC的外接圆于E,延长AC交DCE的外接圆于F.(1)求证:BD=DF;(2)若AD=3,AE=5,求EF的长.【答案】(1)在ABC的外接圆中,ABC=AEC,在DEC的外接圆中,DEC=DFC,因而ABC=DFC.又AD是BAC的平分线,BAD=CAD,又AD=AD,ADBADF,DB=DF.(2)由(1),同理得BAD=BCE,DCE=DFE,BAD=CAD,CAD=DFE,FDEAFE,因而,即EF2=AEDE=10,即EF=.【解析】高考对本部分内容的考查主要围绕圆的切线问题进行,主要考查考生的推理能力、
19、逻辑思维能力.灵活运用与圆有关的定理、几何性质是解题的关键. 23已知曲线C的极坐标方程为2-2cos(+)-2=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.(1)若直线l过原点,且被曲线C截得的弦长最小,求直线l的直角坐标方程;(2)若M是曲线C上的动点,且点M的直角坐标为(x,y),求x+y的最大值.【答案】(1)2-2cos(+)-2=0,即2-2cos+2sin-2=0,将代入得曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,圆心C(1,-1),若直线l被曲线C截得的弦长最小,则直线l与OC垂直,即klkOC=-1,因而kl=1,故直线l的直角
20、坐标方程为y=x.(2)因为M是曲线C上的动点,因而利用圆的参数方程可设(为参数),则x+y=2sin+2cos=2sin(+),当sin(+)=1时,x+y取得最大值2.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等知识,考查考生的运算求解能力. 24已知函数f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.(1)当a=-1时,解不等式f(x)g(x);(2)若存在x0R,使得f(x0)g(x0),求实数a的取值范围.【答案】(1)当a=-1时,不等式f(x)g(x),即|x+1|2|x|-1,从而,即x-1,或,即-1x-,或,即x2.从而不等式f(x)g(x)的解集为x|x-或x2.(2)存在x0R,使得f(x0)g(x0),即存在x0R,使得|x0+1|x0|+,即存在x0R,使得|x0+1|-|x0|.设h(x)=|x+1|-|x|=,则h(x)的最大值为1,因而1,即a2.【解析】本题考查绝对值不等式的求解,分类讨论很关键,第(2)问是本题的难点,是存在性问题,需要考生将该问题与恒成立问题加以区分,虽然都是转化为求最值问题,但有根本的区别.