1、第4讲直线、圆的位置关系【2013年高考会这样考】1考查直线与圆相交、相切的问题能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2考查与圆有关的量的计算，如半径、面积、弦长的计算【复习指导】1会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系2掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想基础梳理1直线与圆的位置关系位置关系有三种：相离、相切、相交判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相交，dr相切，dr相离2圆与
2、圆的位置关系的判定设C1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，C2：(xa2)2(yb2)2r(r20)，则有：|C1C2|r1r2C1与C2相离；|C1C2|r1r2C1与C2外切；|r1r2|C1C2|r1r2C1与C2相交；|C1C2|r1r2|(r1r2)C1与C2内切；|C1C2|r1r2|C1与C2内含一条规律过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程可用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可一个指导直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标
3、”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质解题时应根据具体条件选取合适的方法两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式|AB|xAxB|.说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法双基自测1(人教A版教材习题改编)已知圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是()A相切 B相交但直线不过圆心C相交过圆心 D相离解析由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d.且21(2)50，因此该直线与圆相交但不过圆心答案B2圆x2y24x0在点P(1，)处的切线
4、方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20解析圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切线方程为y(x1)，即xy20.答案D3(2011安徽)若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为()A1 B1 C3 D3解析由已知得圆的圆心为(1,2)，则3(1)2a0，a1.答案B4(2012东北三校联考)圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切解析圆O1的圆心为(1,0)，半径r11，圆O2的圆心为(0,2)，半径r22，故两圆的圆心距|
5、O1O2|，而r2r11，r1r23，则有r2r1|O1O2|r1r2，故两圆相交答案B5(2012沈阳月考)直线x2y50与圆x2y28相交于A、B两点，则|AB|_.解析如图，取AB中点C，连接OC、OA.则OCAB，|OA|2，|OC|，|AC|，|AB|2|AC|2.答案2考向一直线与圆的位置关系的判定及应用【例1】(2011东莞模拟)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范围为()A， B(，)C. D.审题视点 设出直线l的点斜式方程，构造圆心到直线距离与半径的关系的不等式，从而求解解析设直线l的方程为：yk(x4)，即kxy4k0则：1.解得
6、：k2，即k.答案C 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围【训练1】 (2011江西)若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：y(ymxm)0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.解析整理曲线C1方程得，(x1)2y21，知曲线C1为以点C1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：ym(x1)，显然x轴与圆C1有两个交点，知直线l与x轴相交，故有圆心C1到直线l的距离dr1，解得m，又当m0时，直线l与x轴重合，此时只有两个交点，应舍去故选B答案B考向二圆与
7、圆的位置关系的判定及应用【例2】若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.审题视点 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成的直角三角形解得解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y，又a0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a1.答案1 当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长【训练2】 (2011济南模拟)两个圆：C1：x2y22x2y20与C2：
8、x2y24x2y10的公切线有且仅有()A1条 B2条 C3条 D4条解析由题知C1：(x1)2(y1)24，则圆心C1(1，1)，C2：(x2)2(y1)24，圆心C2(2,1)，两圆半径均为2，又|C1C2|4，则两圆相交只有两条外公切线，故选B.答案B考向三直线与圆的综合问题【例3】(2012福州调研)已知M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点(1)若|AB|，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点审题视点 第(1)问利用平面几何的知识解决；第(2)问设点Q的坐标，从而确定点A、B的坐标与AB的直线方程(1)解设直线MQ交A
9、B于点P，则|AP|，又|AM|1，APMQ，AMAQ，得|MP| ，又|MQ|，|MQ|3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由3，得x，则Q点的坐标为(，0)或(，0)从而直线MQ的方程为2xy20或2xy20.(2)证明设点Q(q,0)，由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(xq)y(y2)0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即为qx2y30，所以直线AB恒过定点. 在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简
10、单又不容易出错【训练3】 已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程解(1)如图所示，|AB|4，设D是线段AB的中点，则CDAB，|AD|2，|AC|4.C点坐标为(2,6)在RtACD中，可得|CD|2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式：2，得k.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.当k时，直线l的方程为3x4y200.所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则C
11、DPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.难点突破20高考中与圆交汇问题的求解从近两年新课标高考试题可以看出高考对圆的要求大大提高了，因此也就成了高考命题的一个新热点由于圆的特有性质，使其具有很强的交汇性，在高考中圆可以直接或间接地综合出现在许多问题之中，复习备考时值得重视一、圆与集合的交汇【示例】 (2011江苏)A，B(x，y)|2mxy2m1，x，yR若AB，则实数m的取值范围是_二、圆与概率的交汇【示例】 (2011湖南)已知圆C：x2y212，直线l：4x3y25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为_；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_三、圆与圆锥曲线交汇【示例】 (2010陕西)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A. B1 C2 D4.w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u.w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
