1、第二节排列与组合1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数的概念3排列数与组合数公式(1)排列数公式_=;=_.名称定义排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素排列的个数组合数组合的个数n!(2)组合数公式=.4组合数的性质(1)=.(2)=.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情
2、况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.()【解析】(1)错误.当两个排列的所有元素完全相同，但其排列顺序不同时，仍然不是相同排列，所以错误.(2)错误.因为相同的组合与元素的顺序无关，只与元素是否相同有关，所以该说法错误.(3)正确.当两个组合的元素完全相同时，能得出这两个组合是相同组合；当两个组合相同时，能得出它们的元素完全相同.(4)正确.由定义易知，取出的元素各不相同，因此取了的不能再取了.答案：(1)(2)(3)(4)1从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法有()(A)36种(B)30种(C)42种(D)60种【解析】选A.3人中至少有1名女
3、生包括1女2男及2女1男两种情况，因此不同的选法种数为30+636.2.某电视台在直播2012年伦敦奥运会时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连播，则不同的播放方式有()(A)120种(B)48种(C)36种(D)18种【解析】选C.分步完成这件事.第一步排最后位置一个奥运宣传广告有2种不同的方法；第二步排另一个奥运宣传广告，有3个位置可选，共有3种方法；第三步排3个商业广告，共有种不同的方法.由分步乘法计数原理可知：共有2336(种)不同的播放方式.3.某班级有一个7人小组，现任选3人相互交换座位，其余4人
4、座位不变，则不同的调整方式有()(A)12种(B)70种(C)210种(D)105种【解析】选B.分两步完成此事.第一步任选3人共有种不同的方法；第二步这3个人相互交换座位共有2种方法.由分步乘法计数原理可知：共有270(种)不同的调整方式.4_.【解析】答案：1205若则x=_.【解析】由2x-7=x或2x-7+x=20，得x=7或x=9.答案：7或9 考向 1排列问题的应用【典例1】(1)8名学生和2位老师排成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()(A)(B)(C)(D)(2)(2012辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()(A)33！(B)3(
5、3！)3(C)(3！)4 (D)9！(3)设a1,a2,，an是1，2，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai的顺序数(i=1,2,n)如在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1，2的顺序数为0.则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，6的顺序数为3的不同排列的种数为()(A)480 (B)690(C)720(D)840【思路点拨】(1)采用插空法求解.(2)采取“捆绑法”求解.(3)8一定在第三位，前面有几位数，顺序数就为几，6的位置需要根据7的位置而确定，因为前面除了8和7以外所有数都比它小，需要分类求解.6在7前面和6在7后面，根据分类和分步
6、得到结果.【规范解答】(1)选A8名学生共有种排法，把两位老师插入到9个空中，有种排法，因此共有种排法(2)选C分步完成，先将每家“绑在一起”，看成3个元素，全排列，共有3!(种)坐法；然后每家3口人，再各自全排列，则有(3!)3(种)坐法；据分步乘法计数原理，共有(3!)4(种)坐法.(3)选D.左边有几个数，顺序数就为几，故8一定在从左面起第三个位置；而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大.6可能在第五个位置，因为左边除了8以外，所有的数都比它小时满足它的顺序数为3，6可能排在第六个位置，7排在6的左边时，满足它的顺序数为3，要分两种情况进行讨论.当6在第五个位置时，需要在其右边三个位置
7、上排列7，余下的数字在5个位置上全排列，共有=360(种)结果；当6排在第六个位置时，需要把7在其左边四个位置上选一个排列，余下的5个数字全排列，共有=480(种)结果，根据分类加法计数原理知，共有360+480=840(种).故选D.【互动探究】本例题(2)中“每家人坐在一起”改为“某一家人不相邻，其余两家每家人坐在一起”，则不同的坐法种数是多少？【解析】先让每家人坐在一起的两家坐，共有(3！)2种方法，再排一家人都不相邻的，采用插空法，有种方法，由分步乘法计数原理可知有(3！)2 =432(种)方法.【拓展提升】1.解决排列问题的主要方法直接法 无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式计算
8、捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中相除法 定序问题除法处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列2.解决排列类应用题的策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置.(2)有条件限制的排列问题，可用直接法，逐一满足其限制条件；或用间接法，全排后减去不符合限制条件的排列种数.【变式备选】有3张都标着字母A，6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成汽车牌号，则可以组成不同牌
9、号的总数等于_(用数字作答).【解析】若无字母A，则有种；若含有一个字母A，则有种；若含有两个字母A，则有种；若含有三个字母A，则有种.综上所述，共有=4 020(种).答案：4 020考向 2组合问题的应用【典例2】(1)将1,2,3，9这9个数字填入如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()(A)6种(B)12种(C)18种(D)24种(2)(2013合肥模拟)从10名大学生村官中选3个人担任乡长助理，则甲、丙至少有1人入选且乙没有入选的不同选法的种数为()(A)85 (B)56(C)49(D)28(3)(201
10、2浙江高考)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()(A)60种(B)63种(C)65种(D)66种【思路点拨】(1)先确定数字1，2，9的排列位置，再确定其他元素的位置.(2)按题意要求分甲、丙有一人入选、两人都入选分类解答或用间接法解答.(3)分全是偶数、全是奇数、两奇两偶三种情况进行分类讨论.【规范解答】(1)选A.第一行从左到右前面两个格子只能安排1,2，最右下角的格子只能是9，这样只能在剩余的四个数字中选两个，安排在右边一列的上面两个格子中(由小到大)，剩余两个数字安排在最下面一行的前面两个格子中(由小到大)，故总的方法数为=6.(2)选C.
11、方法一：直接法若甲、丙中有一人入选，乙没有入选，则有种不同选法，若甲、丙都入选，乙没有入选，则有种不同选法.由分类加法计数原理得，共有+=49(种).方法二：间接法不管甲、丙，只考虑乙没有入选，则共有种不同选法，甲、丙、乙都没有入选，则有种不同选法，故满足题意的选法共有-=49(种).(3)选D.均为奇数时，有5(种)；均为偶数时，有1(种)；两奇两偶时，有60(种)，由分类加法计数原理可知，共有66种.【拓展提升】1.解决组合应用题的一般思路首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；然后局部分步，用到分步乘法计数原理.2.组合问题的常见题型及解题思路常见题型有选派问题，
12、抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题.解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”去解决，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题.3.含有附加条件的组合问题的常用方法通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解.【提醒】区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.【变式训练】(2012广州模拟)如图，MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4，ON上有三点B1,B2,B3,则以O，A1,A
13、2,A3,A4，B1,B2,B3为顶点的三角形个数为()(A)30 (B)42(C)54(D)56【解析】选B.方法一：用间接法先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形个，再减去三点共线的情形即可.=42.方法二：直接法.将点O归到直线ON上，分在ON上取1个点，2个点去解，共有考向 3 排列、组合问题的综合应用【典例3】(1)在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为()(A)78 (B)114(C)108(D)120(2)(2013九江模拟)2012伦敦奥运会组委会从A，B，C，D，E五名
14、志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中A和B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()(A)48种(B)36种(C)18种(D)12种(3)(2012北京高考)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为()(A)24 (B)18 (C)12 (D)6【思路点拨】(1)可按人数分类讨论，再注意是排列问题还是组合问题.(2)先分类讨论，再看是否与顺序有关，确定是排列还是组合，从而解决问题.(3)考虑特殊元素0，与特殊位置个位.如果选0，则0只能在十位.个位必须是奇数.【规范解答】(1)选B依题设
15、可知，必定有一所医院安排一名医生解决此问题可先分组后排列，分组办法，一类是1女，1女1男，2男，共有分配方法数为36(种)；一类是1男，1女1男，1女1男，共有分配方法数为36(种)；一类是1女，1女，3男，共有分配方法数为6(种)；一类是1女，1男，1女2男，共有分配方法数为36(种)；共有36+36+6+36114(种)不同的方法.(2)选B分A和B都选中和只选中一个两种情况：当A和B都选中时，有种选派方案；当A和B只选中一个时，有种选派方案，所以不同的选派方案共有36(种)(3)选B.当从0，2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位百位全排列即可，共有12(个).当选取0时，组
16、成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有6(个).综上，共有12+618(个).【拓展提升】1.求解排列、组合应用题的一般步骤(1)弄清事件的特性，把具体问题化归为排列问题或组合问题，其中“有序”是排列问题，“无序”是组合问题.(2)通过分析，对事件进行合理的分类、分步，或考虑问题的反面情况.(3)分析上述解法中有没有重复和遗漏现象，若有，则计算出重复数和遗漏数.(4)列出算式并计算作答.2.解排列、组合应用题的基本方法(1)直接法：直接列出符合条件的所有排列或组合，再求出排列数或组合数.(2)间接法：不考虑限制条件计算出排列数或组合数，再减去不符合条件的排列数或组合数，余下的就是满足
17、条件的方法数.(3)分类法：选定一个适当的标准，将事件分成n个类型，分别计算出各类型的方法数，再由分类加法计数原理得出结论.(4)分步法：选定一个适当的标准，将事件分成n个步骤来完成，分别计算出各步骤的方法数，再由分步乘法计数原理得出结论.【变式训练】(1)12名同学合影，前排站4人后排站8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人之间及首尾的5个空中插入一人，有5种插法，余下的一人则要插入前排5人之间及首尾的空中，有6种插
18、法，故为.综上故选C.(2)5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛,且入选的3名队员中至少有一名老队员,则1，2号中至少有1名新队员的排法有_种.(以数字作答)【解析】两老一新时,有=12(种)排法;两新一老时,有=36(种)排法,即共有48种排法.答案：48【创新体验】排列、组合的新定义问题【典例】(2012湖南高考)设N2n(nN*，n2)，将N个数x1,x2,，xN依次放入编号为1,2，N的N个位置，得到排列P0 x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前个位置和后个位置，得到排列P1x1x3xN
19、-1x2x4xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，当2in-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi+1，例如，当N8时，P2x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N16时，x7位于P2中的第_个位置.(2)当N2n(n8)时，x173位于P4中的第_个位置.【思路点拨】找准创新点C变换：将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前个位置和后个位置，得到新排列寻找突破口由C变换的定义及(1)中的具体解法，找规律，再推广到(2)中求解【规范解答】(1)当N=16时，P0=x1
20、x2x16.由C变换的定义可得P1=x1x3x15x2x4x16，又将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，故P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10 x14x4x8x12x16，由此知x7位于P2中的第6个位置.(2)考察C变换的定义及(1)计算可发现，第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以4为公差的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项，依此类推可得出P4中所有的数字分
21、为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，由于173=1610+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n(n8)，故每段的数字有2n-4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第32n-4+11个位置.答案：(1)6 (2)32n411【思考点评】1.方法感悟：本题充分体现了演绎推理、归纳推理的方法在解题中的应用，即依据C变换的定义，推出当N16时x7位于P2中的位置；然后依据(1)的解题方法，归纳出N2n时x173的具体位置.2.技巧提升：对于排列、组合类新定义问题，常见的类型有新定义下排列数、组合数的个数
22、，新定义下的排列方式如何等.新定义问题构思巧妙，隐蔽性强，问题的背景新颖，考查的内容除了理解新定义、应用新定义外，还考查数学中的基础知识和基本技能，解题的关键是抓住新定义及新概念的特征，将新信息与所学知识结合起来，转化为已知的或所学过的数学知识解决，本题是转化为演绎推理与归纳推理两种方法解决.1.(2013宝鸡模拟)市内某公共汽车站10个候车位(成一排)，现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式的种数是()(A)240 (B)480(C)600(D)720【解析】选B.先给座位编号，依次为1,2,3，10，有5个连续空座位的方法有：空1,2,3,4,5，有=96(种
23、)候车方式；空2,3,4,5，6有=72(种)候车方式；空3,4,5，6,7有=72(种)候车方式；空4,5,6,7,8有=72(种)候车方式；空5,6,7,8,9有=72(种)候车方式；空6,7,8,9,10有=96(种)候车方式；由分类加法计数原理可知：共有296+472=480(种)候车方式.2.(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为()(A)232 (B)252(C)472(D)484【解析】选C.从16张不同的卡片中任取3张共有种，其中有两张红色的有,其中3张卡
24、片颜色相同的有4 .所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为472(种).3.(2012新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()(A)12种(B)10种(C)9种(D)8种【解析】选A.将4名学生均分为2个小组3种分法；将2个小组的同学分给两名教师带有2种分法，最后将两个小组的人员分配到甲、乙两地有2种分法,故不同的安排方案共有32212(种).4.(2013亳州模拟)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入一排编号依次为1，2，3，4，5，6的六个抽屉内，每个抽屉至多
25、放一种文件.若文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有_种.【解析】文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放入相邻的抽屉内，A，B和C，D分别看成一个元素，相应的抽屉看成4个，则有3个元素在四个位置排列，共有种结果，组合在一起的元素还有一个排列，共有=96种结果.答案：961.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()(A)120个(B)80个(C)40个(D)20个【解析】选C.方法一：可分两步
26、：从6个数字中任选3个数字，有种不同的选法；将选出的3个数字中的最大数字排到十位上，其余2个数字有种不同的排法.根据分步计数原理知，共有=40个不同的“伞数”.方法二：可分四类：当十位数为6时，有个不同的“伞数”；当十位数为5时，有个不同的“伞数”；当十位数为4时，有个不同的“伞数”；当十位数为3时，有个不同的“伞数”.根据分类加法计数原理知，共有=40个不同的“伞数”.2.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有()(A)2 680种(B)4 320种(C)4 920种(D)5 140种【解析】选B.先将7盆花全排列，共有种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5种，故所求摆放方法有4 320(种).3.方程x+y+z=7共有_组正整数解.【解析】将7个1摆成一个横排，在除两端外侧的6个空当中放上两个“+”号，将7个1分成三组，左、中、右三组中1的个数，分别为x，y，z的值，所以共有=15组解.答案：15
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