1、第七节离散型随机变量及其分布列1.离散型随机变量随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数,这种对应称为一个_，通常用大写的英文字母如X,Y来表示.随机变量的取值能够一一列举出来,这样的随机变量称为_.随机变量离散型随机变量2.离散型随机变量的分布列及其性质(1)离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值为a1,a2，随机变量X取ai的概率为pi(i=1,2，)，记作：_(i=1,2,)，或把上式列成表P(X=ai)=piX=aia1a2P(X=ai)_ _p1 p2表或式称为离散型随机变量X的分布列，记为(2)离散型随机变量分布列的性质pi_0(i=1,2,);p1+p2+
2、=_.3.超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品，从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么，P(X=k)=(其中k为非负整数).如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布.1判断下面说法是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()(2)有些离散型随机变量的分布列可以使用公式表示.()(3)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()(5)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从超几
3、何分布.()X25P0.30.7【解析】(1)正确.离散型随机变量的分布列是所有离散型随机变量的概率分布情况，因此该说法是正确的.(2)错误.有些离散型随机变量的概率可以用公式表示出来，但分布列不能.(3)错误.由概率分布列的性质可知：在分布列中随机变量的概率之和为1.(4)正确.因为如果离散型随机变量的各个可能值表示的事件彼此不互斥，则它们的概率之和将大于1，所以该说法是正确的.(5)错误.因为超几何分布中随机变量X的取值应为连续的非负整数.答案：(1)(2)(3)(4)(5)1.将一颗骰子掷两次，随机变量为()(A)第一次出现的点数 (B)第二次出现的点数(C)两次出现点数之和 (D)两次
4、出现相同点的种数【解析】选C.A,B中出现的点数虽然是随机的，但它们取值所反映的结果，都不是本题涉及试验的结果D中出现相同点数的种数就是6种，不是变量C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共11种结果，但每掷一次前，无法预见是11种中的哪一个，故是随机变量，选C.2设随机变量X等可能取值1,2,3，n，若P(X4)0.3，则()(A)n3(B)n4(C)n9(D)n10【解析】选D.P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)0.3，n10.3.袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取
5、到红球为止若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是()(A)X4(B)X5(C)X6(D)X5【解析】选C.由条件知“放回5个红球”事件对应的X为6.4设X是一个离散型随机变量，其分布列为：则q等于()(A)1(B)1(C)1 (D)1【解析】选C.由分布列的性质得：X-101P0.512qq25.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题，比赛规定：对于每一道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得1分)若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是【解析】甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一道题并回答错误，乙抢到两
6、道题并且都回答错误，此时甲得1分，故X的所有可能取值为1,0,1,2,3.答案：1,0,1,2,3考向1离散型随机变量分布列的性质【典例1】(1)设随机变量X的概率分布如表所示：F(x)P(Xx)，则当x的取值范围是1,2)时，F(x)()(A)(B)(C)(D)(2)已知随机变量X的分布列为求 的分布列.【思路点拨】(1)由概率分布的性质，可求出a的值，然后求出F(x)的值.(2)根据Y与X的对应关系求出Y的值及相应概率.【规范解答】(1)选D.，a.x1,2)，F(x)P(Xx)(2)由题意得，所以Y的分布列为【互动探究】在本例题(2)中条件不变，求Y=X2的分布列.【解析】Y=X2对于X
7、的不同取值-2，2及-1，1，Y分别取相同的值4与1，即Y取4这个值的概率应是X取-2与2值的概率的和，Y取1这个值的概率也是X取-1与1值的概率的和，故Y的分布列为【拓展提升】1.分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.2.随机变量组合的分布列问题(1)随机变量X的线性组合Y=aX+b(a,bR)是随机变量.(2)求Y=aX+b的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.【提醒】求分布列中参数的值时应保证每个概率值均为非负数.【变式备选】已知某一随机变量X的概率
8、分布如下，且E(X)6.3，则a的值为().(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【解析】选C由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4.E(X)40.5a0.190.46.3,a7.考向2 离散型随机变量的分布列【典例2】(1)某射手射击所得环数X的分布列为：则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()(A)0.28 (B)0.88 (C)0.79 (D)0.51(2)一个均匀的正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记X(x13)2(x23)2.分别求出X取得最大值和最小值时的概率；求X的分布列【思路点拨】(1)首先弄清“射
9、击一次命中环数大于7”所包含的事件，然后依据概率分布求解.(2)首先弄清随机变量X的所有可能取值，然后求出X的分布列.【规范解答】(1)选C.P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.(2)掷出点数x可能是1,2,3,4，则x3分别得：2，1,0,1.于是(x3)2的所有取值分别为：0,1,4.因此X的所有取值为：0,1,2,4,5,8.当x11且x21时，X(x13)2(x23)2可取得最大值8，P(X8)；当x13且x23时，X(x13)2(x23)2可取得最小值0，P(X0).由知X的所有取值为：0,1,2,4,5,8.P(X0)P(X8)；当X1时，(
10、x1，x2)的所有取值为(2,3)，(4,3)，(3,2)，(3,4)即P(X1)；当X2时，(x1，x2)的所有取值为(2,2)，(4,4)，(4,2)，(2,4)即P(X2)；当X4时，(x1，x2)的所有取值为(1,3)，(3,1)即P(X4)当X5时，(x1，x2)的所有取值为(2,1),(1,4),(1,2),(4,1)即P(X5)所以X的分布列为：【拓展提升】1.分布列的表示方法分布列有三种表示形式，即表格、等式和图像.在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率.2求随机变量的分布列的三个步骤(1)找：找出随机变量X的所有可能的取值
11、xi(i=1,2,),并确定X=xi的意义.(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,).(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.【变式训练】盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的，从盒中任取2个来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列.【解析】“X2”表示用完放回后盒中只有2个旧球，所以在取球时已经将原来2个旧球全部取出，P(X2).“X3”表明原来2个旧球只取1个，P(X3)“X4”表明原来2个旧球1个也不取P(X4)所求分布列为：考向3 超几何分布的概率问题【典例3】(1)(2013商洛
12、模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是_(2)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为X的分布列【思路点拨】(1)先找出随机变量的所有可能取值，再求概率，求概率时注意判断其概率模型.(2)先弄清随机变量的取值，再判断随机变量服从什么分布【规范解答】(1)设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N6，M2，n3，则P(X1)P(X0)P(X1)答案:(2)本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解设随机变量X表示取出次品的件数，则X服从超几何分布，其中N15，M2，n3.X可能的取值为0,1,2.相应的概率
13、依次为所以X的分布列为【拓展提升】1.超几何分布的两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题.(2)随机变量为抽到的某类个体的个数.2.超几何分布的应用超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型.【变式训练】某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括x位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师每一位学生被选派的机会是相同的(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，试求出n与x的值.(2)记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列【解析】(1)从n位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教
14、师的总结果数为2位学生中恰有1位女学生的结果数为依题意可得化简得n211n300，解得n15，n26.当n5时，x532；当n6时，x633，故所求的值(2)当时，X可能的取值为0,1,2.X0表示只选派2位男生，这时X1表示选派1位男生与1位女生，这时X2表示选派2位女生，这时X的分布列为：当时，X可能的取值为0,1,2.X0表示只选派2位男生，这时X1表示选派1位男生与1位女生，这时X2表示选派2位女生，这时P(X2)X的分布列为：【满分指导】离散型随机变量分布列的规范解答【典例】(12分)(2012大纲版全国卷改编)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对
15、方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为12的概率.(2)X表示开始第4次发球时乙的得分，求X的分布列.【思路点拨】已知条件条件分析比赛规则双方各发两次球，胜得1分，发球方胜的概率为0.6.属于独立事件的概率求解问题开始第4次发球时，甲、乙的比分为12包含两种情况：第一种：第1次和第2次两次发球，甲共得1分，第3次发球时甲未得分第二种：第1次和第2次两次发球，甲共得0分，第3次发球时甲得1分X表示开始第4次发球时乙的得
16、分X可能的取值为0，1，2，3【规范解答】记Ai表示事件：第1次和第2次两次发球，甲共得i分，i=0，1，2.A表示事件：第3次发球，甲得1分B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为12.(1)B=A0A+A1，2分P(A)=0.4，P(A0)=0.42=0.16，P(A1)=20.60.4=0.48.4分P(B)=P(A0A+A1 )=P(A0A)+P(A1 )=P(A0)P(A)+P(A1)P()=0.160.4+0.48(1-0.4)=0.352.6分(2)P(A2)=0.62=0.36.X可能的取值为0,1,2,3.P(X=0)=P(A2A)=P(A2)P(A)=0.360.4=0
17、.144.P(X=2)=P(B)=0.352,P(X=3)=P(A0 )=P(A0)P(A)=0.160.6=0.096.8分P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)-P(X=3)=1-0.144-0.352-0.096=0.408.10分X的分布列为12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013长安模拟)若P(Xx2)1，P(Xx1)1，其中x1x2，则P(x1Xx2)等于()(A)(1)(1)(B)1()(C)1(1)(D)1(1)【解析】选B由分布列性质可有：P(x1Xx2)P(Xx2)P(Xx1)1(1)(1)11()2.(2013蚌埠模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新
18、的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故3.(2013鹰潭模拟)一个坛子里有编号为1，2，3，12的12个大小相同的球，其中编号1至6是红球，其余是黑球，若从中任取两个球，则取到的全是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.所求事件包含的基本事件数为：故所求的概率为4.(2013抚州模拟)口袋中有n(nN*)个白球，3个红球，依次从口袋中任取1个球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白
19、球，就停止取球记取球的次数为X.若P(X2)求：(1)n的值.(2)X的分布列【解析】(1)由P(X2)知90n7(n2)(n3)n7或n=(舍)，故n=7.(2)由题意知X可取1,2,3,4，P(X1)P(X2)P(X3)P(X4)X的分布列为1由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：则x,y分别为_【解析】由于0.200.100.x50.100.1y0.201，得0.x50.1y0.40，于是x,y分别为2,5.答案:2,52.某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著三国演义水浒传西游记红楼梦与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得-1分，某观众只知道三国演义的作者是罗贯中，其他不知道随意连线，将他的得分记作X.(1)求该观众得分X为负数的概率.(2)求X的分布列.【解析】(1)当该观众只连对三国演义，其他全部连错时，得分为负数，此时X=-1，故得分为负数的概率为(2)X的可能取值为-1，2，8.X的分布列为：
