1、第六节抛 物 线1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的集合是抛物线：(1)在平面内.(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_.(3)定点_定直线.相等不过2.抛物线的标准方程与简单性质标准方程_(p0)_(p0)_(p0)_(p0)P的几何意义：焦点F到准线l的距离图形y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py顶点_对称轴_(x轴)_(y轴)焦点坐标F_F_F_F_离心率 e=_O(0,0)y=0 x=01准线方程_范围_焦半径(其中P(x0,y0)|PF|=_|PF|=_|PF|=_|PF|=_x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”
2、).(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(,0)，准线方程是x=.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)AB为抛物线y2=2px(p0)的过焦点F(,0)的弦，若A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2=,y1y2=-p2，弦长|AB|=x1+x2+p.()【解析】(1)错误.当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)错误.方程y=ax2(a0)可化为x2=y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是(0,)，准线方程
3、是y=-.(3)错误.抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形,不是中心对称图形.(4)正确.当AB斜率不存在时，AB方程为x=，结论显然成立；当AB斜率存在时，设AB的方程为y=k(x-),与y2=2px(p0)联立消去y得：k2x2-p(2+k2)x+=0,又y1=k(x1-),y2=k(x2-),y1y2=k2x1x2-(x1+x2)+由抛物线定义得：|AF|=x1+,|BF|=x2+,|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.答案：(1)(2)(3)(4)1.坐标平面内到定点F(-1，0)的距离和到定直线l:x=1的距离相等的点的轨迹方程是()(A)y2=2x (B)y2=-2x(C)y
4、2=4x (D)y2=-4x【解析】选D.由抛物线的定义知点的轨迹是以F(-1,0)为焦点的抛物线，且=1,p=2，故方程为y2=-4x.2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为()(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4【解析】选D.椭圆的右焦点为（2，0），所以3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析】选D.由抛物线定义得|AF|=4+=4+=5.4.抛物线y=8x2的准线方程为()(A)x=-2 (B)(C)(D)【解析】选D.抛物线y=8x2的标准方程为x2=y，焦点在y轴上，且2p=,p
5、=,准线方程为y=-.5.线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于_.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)则|AB|=x1+x2+=4,x1+x2=,弦AB的中点的横坐标为中点到直线x+=0的距离为：答案：考向 1抛物线的定义及其应用【典例1】(1)(2013九江模拟)已知动圆过定点F(,0)，且与直线x=-相切，其中p0,则动圆圆心的轨迹E的方程为_.(2)(2012安徽高考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|_.(3)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点
6、P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_.【思路点拨】（1）根据已知条件得到动点满足的等量关系，再结合抛物线定义，先定形状，再求方程.（2）利用抛物线的定义求出A点坐标，将直线AF的方程与y2=4x联立，求出B点坐标，再利用抛物线定义求出|BF|.（3）利用抛物线的定义，将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离，数形结合求解.【规范解答】(1)设M为动圆圆心，过点M作直线x=-的垂线，垂足为N，由题意知|MF|=|MN|，即动点M到定点F(,0)与定直线x=-的距离相等，由抛物线定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(,0)为焦点，x=-为准线，所以轨迹方程为y2=2px(p0).答案：y2=2px
7、(p0)（2）由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|=3，由抛物线定义知，点A到准线x=-1的距离为3，点A的横坐标为2，将x=2代入y2=4x，得y2=8,不妨设A在第一象限，所以y=A(2,),直线AF的方程为y=(x-1).又解得由图知，点B的坐标为(),|BF|=.A在第四象限时，同理|BF|=答案：(3)如图，由抛物线的定义知，点P到该抛物线的准线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点P到点(0，2)的距离与点P到焦点的距离之和，显然当P0，F，(0，2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于答案：【互动探究
8、】在本例题(2)的条件下，如何求AOB的面积？【解析】由题(2)的解析知A(2,),B(,-),SAOB =|OF|yA-yB|=【拓展提升】利用抛物线的定义可解决的两类问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用.【变式备选】直线l经过抛物线y2=2px（p0）的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，如果|PF|=a，|QF|=b，M为RS的中点，则|MF|为()(A)a+b (B)（a+b）(C)ab
9、 (D)【解析】选D.如图所示，由抛物线定义知，连结RF，SF，则RFS=90.又M是中点，考向 2抛物线的标准方程与简单性质【典例2】(1)(2012山东高考)已知双曲线C1：的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()(A)x2=y (B)x2=y(C)x2=8y (D)x2=16y（2）（2013宝鸡模拟）以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P（-2，-4）的抛物线方程为_.【思路点拨】(1)先利用离心率为2，求出渐近线方程，再利用焦点到渐近线的距离为2构建方程求p，从而求解.(2)利用待定系数法求解，根据题设条件，按焦
10、点所在位置的可能情况，分类讨论.【规范解答】(1)选D.因为双曲线C1：的离心率为2，,b=a,双曲线的渐近线方程为xy=0,抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点F(0,)到双曲线C1的渐近线的距离为,p=8.所求的抛物线方程为x2=16y.(2)由于点P在第三象限.当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2=-2px（p0），把点P（-2，-4）代入得：(-4)2=-2p(-2)，解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py（p0），把点P（-2，-4）代入得：(-2)2=-2p（-4）.解得抛物线方程为x2=-y,综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=
11、-y.答案：y2=-8x或x2=-y【拓展提升】1.求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可.(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.2.确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.【变式训练】(1)(2013蚌埠模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0 相切，则p的值为()(A)(B)1 (C)2 (D)4
12、【解析】选C.由y2=2px，得抛物线准线方程为x=-，圆x2+y2-6x-7=0可化为(x-3)2+y2=16，由圆心到准线的距离等于半径得：3+=4，所以p=2.(2)焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是_.【解析】令x=0得y=-2；令y=0,得x=4.抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2).当焦点为(4，0)时，=4,p=8,此时抛物线方程为y2=16x；当焦点为(0，-2)时，=2，p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.所求抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.答案：y2=16x或x2=-8y考向 3直线与抛物线的综合问题【典例3】(2013南昌模拟)如图所示，F是抛物
13、线x2=2py(p0)的焦点，点R(1，4)为抛物线内一定点，点Q为抛物线上一动点，|QR|+|QF|的最小值为5.(1)求抛物线的方程.(2)已知过点P(0，-1)的直线l与抛物线x2=2py(p0)相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，l1，l2分别是该抛物线在A，B两点处的切线，M，N分别是l1，l2与直线y=-1的交点.求直线l的斜率的取值范围，并证明|PM|=|PN|.【思路点拨】(1)利用抛物线定义，并数形结合寻找到|QR|+|QF|取最小值为5的条件，构建p的方程求解.(2)建立l的方程并与x2=2py(p0)联立消去y得一元二次方程，使判别式0求斜率的取值范围，再建立l
14、1，l2的方程，只需证明xM+xN=0即xN=-xM即可.【规范解答】(1)设抛物线的准线为l,过Q作QQl于Q，过R作RRl于R，由抛物线定义知|QF|=|QQ|，|QR|+|QF|=|QR|+|QQ|RR|(折线段大于垂线段)，当且仅当R，Q，R三点共线时取等号.由题意知|RR|5，即4+=5p=2，故抛物线的方程为x2=4y.（2）由已知条件可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l:y=kx-1,则x2-4kx+4=0 依题意，有=16k2-160k1.由x2=4yy=x2y=x,所以抛物线在A处的切线l1的方程为令y=-1,得注意到x1,x2是方程的两个实根，故x1x2=4,即x2=,从
15、而有因此，|PM|=|PN|.【拓展提升】1.直线与抛物线的位置关系问题设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p0)联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+l=0.(1)位置关系与其判别式的关系(2)相交问题的求解通法涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法.【提醒】涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.2.与焦点弦有关的常用结论(如图所示)(1)(2)|AB|=x1+x2+p=(为AB的倾斜角).(3)SAOB=(为AB倾斜角).(4)(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(
16、7)CFD=90.【变式训练】(2013宁德模拟)已知抛物线C:y=mx2(m0)，焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标.(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值.(3)是否存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)抛物线C：x2=y,它的焦点F(0,).(2)|RF|=yR+,2+=3,得m=.(3)存在.联立方程消去y得mx2-2x-2=0,依题意，有=(-2)2-4m(-2)0m-.设A(x1,),B
17、(x2,),则P是线段AB的中点，P(),即P(,yP),Q(，).得=(x1-,-),若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则=0,即(x1-)(x2-)+(-)(-)=0,结合(*)化简得即2m2-3m-2=0，m=2或m=-,而2(-,+),-(-,+).存在实数m=2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.【满分指导】解答直线与抛物线的综合题【典例】(12分)(2012新课标全国卷)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F，准线为l,A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程.(2)若A
18、,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.【思路点拨】【规范解答】(1)由抛物线的对称性可得BFD为等腰直角三角形，BD|=2p,圆F的半径|FA|p.由抛线线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为ABD的面积为4 ,所以|BD|d=4 ，即，解得p=-2(舍去)或p=2.3分所以F(0，1)，圆F的方程为x2+(y-1)2=8.5分(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB=90.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以ABD=30,m的斜率为或.7分当m的斜率为时，由已知可设n:y=x+b，代入x
19、2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点，故=p2+8pb=0，解得b=-因为m的纵截距b1=，,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时，由图形对称性可知，坐标原点到m,n距离的比值为3.12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013合肥模拟)已知抛物线C:y=4x2，若存在定点A与定直线l,使得抛物线C上任一点P，都有点P到点A的距离与点P到l的距离相等，则定点A到定直线l的距离为()(A)(B)(C)2 (D)4 【解析】选A.由题意知定点A即为焦点(0，)，定直线l即为准线y=-，于是定点A到定直线l的距离为.2.(2012陕西高考)如图是抛物线
20、形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米.【解析】建立适当的坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2=-2py(p0)，则点(2，-2)在此抛物线上，代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时x2=-2(-3)=6，所以x=,水面宽是2 米.答案：23.(2012北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_.【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),直线l:由解得A(3,2 ),B(,-),所以SOAF=12 =.答案：4.(2012浙江高
21、考)如图，在直角坐标系xOy中，点P(1,)到抛物线C：y2=2px(p0)的准线的距离为，点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.(1)求p,t的值.(2)求ABP面积的最大值.【解析】(1)点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p0)的准线的距离为，可得准线方程为x=-,所以抛物线C:y2=x,p=.点M(t,1)是C上的点，所以t=1.(2)设动点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,线段AB的中点为Q(m,m),由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,所以2km=1.直线AB的方程为y-m=(x-m),即x-2my+2m2-m
22、=0,由消去x，整理得y2-2my+2m2-m=0.所以=4m-4m20,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m,从而|AB|=设点P到直线AB的距离为d,则d设ABP的面积为S，则S=|AB|d=|1-2m+2m2|,由=4m-4m20可得0m1.令u=,0u ,则S=u(1-2u2),设S(u)=u(1-2u2),00，得m2+n0,y1+y2=4m,y1y2=-4n.APAQ,(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0.(y1-2)(y2-2)(y1+2)(y2+2)+16=0,(y1-2)(y2-2)=0或(y1+2)(y2+2)+16=0.n=1-2m或n=2m+5,0恒
23、成立，n=2m+5.直线PQ的方程为x-5=m(y+2),直线PQ过定点(5,-2).(2)存在.假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ，由第(1)问可知，将n用2m+5代换得直线PQ的方程为x=my+2m+5.又点P,Q的坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2)，由消x,得y2-4my-8m-20=0.y1+y2=4m,y1y2=-8m-20.线段PQ的中点坐标为PQ的中点坐标为(2m2+2m+5,2m).由已知得即m3+m2+3m-1=0,设g(m)=m3+m2+3m-1，则g(m)=3m2+2m+30,g(m)在R上是增函数.又g(0)=-10,g(m)在(0,1)内有一个零点.函数g(m)在R上有且只有一个零点，即方程m3+m2+3m-1=0在R上有唯一实根，所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.
