1、第九节函数的应用1.三种函数模型之间增长速度的比较性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在（0，+）上的增减性_增长速度越来越快越来越慢相对平稳大小比较存在一个x0,当xx0时，有_函数增加的增加的增加的logaxxnax2.常见的几种函数模型（1）直线模型:y=_型,图像增长特点是直线式上升(x的系数k0),通过图像可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=_.（2）反比例函数模型:y=_型,图像增长特点是y随x的增大而减小.(3)指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,a0)型，图像增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b1,a0)，常形象地称为指
2、数爆炸.kx+b(k0)kx(k0)(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0)型，图像增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a1,m0).(5)幂函数模型:y=axn+b(a0)型，其中最常见的是二次函数模型:_(a0)，图像增长特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a0).y=ax2+bx+c(6)分段函数模型：图像特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围,特别是端点.判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）函数y=2x的函数值比y=x2的
3、函数值大.()（2）“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a0,b0,b1)增长速度越来越快的形象比喻.()（3）幂函数增长比直线增长更快.()（4）不存在x0，使()【解析】(1)错误.当x(2,4)时,x22x.(2)错误.增长越来越快的指数型函数是y=abx+c(a0,b1).(3)错误.幂函数y=xn(0n1,x1)的增长速度比直线y=x(x1)的增长速度慢.(4)错误.当0a1时，存在x0,有答案：（1）（2）（3）（4）1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是()(A)x22%(B)x22%(C)x=22%(D)x的大小
4、由第一年的产量确定【解析】选B.设第一年的产量为a,则a(1+x)2=a(1+44%),(1+x)2=1+44%,解得x=20%.2.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的()【解析】选B.由题意知h=20-5t(0t4).3.拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=0.5m+1(单位：元)，其中m0，m表示不大于m的最大整数(如3.62=3,4=4)，当m0.5,3.2时，函数f(m)的值域是()(A)1,2,3,4(B)1,1.5,2,2.5(C)1,1.5,2.5,3(D)1.5,2,2.5【解析】选B.
5、当m0.5,3.2时,m所有可能值为0,1,2,3共4个，故f(m)的值域为1,1.5,2,2.5.4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为(万元).一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()(A)35万件(B)18万件(C)22万件(D)9万件【解析】选B.利润当x=18时，L(x)有最大值.考向 1 一次函数与二次函数模型【典例1】(2013淮南模拟)某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)类别年固定成本每件产品成本每件产品销售
6、价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120项目其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m6,8.另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域.(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划.【思路点拨】(1)根据利润计算公式写出y1,y2.(2)先求y1与y2的最大值，再通过比较最大值做出规划.【规范解答】(1)由年销售量为x件，按利润的计算公式，有生产A，
7、B两产品的年利润y1,y2分别为y1=10 x-(20+mx)=(10-m)x-20(0 x200且xN),y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10 x-40=-0.05(x-100)2+460(0 x120，xN).(2)6m8，10-m0，y1=(10-m)x-20为增函数，又0 x200,xN，x=200时，生产A产品有最大利润为(10-m)200-20=1 980-200m（万美元）.又y2=-0.05(x-100)2+460,0 x120,xN，当x=100时，生产B产品有最大利润为460万美元，因为(y1)max-(y2)max=(1 980-200m)-4
8、60=1 520-所以，当6m7.6时，可投资生产A产品200件；当m=7.6时，生产A产品200件与生产B产品100件均可；当7.6m8时，可投资生产B产品100件.【拓展提升】求解一次函数与二次函数模型问题的关注点（1）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法.(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题.【变式训练】某企业生产A,B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位:
9、万元).(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A,B两种产品的生产.若平均投入生产两种产品，可获得多少利润?问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?【解析】（1）设A,B两种产品分别投资x万元,x万元,x0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设根据图像可解得f(x)=0.25x(x0).(2)由(1)得总利润y=8.25 万元.设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元.则令则当t=4时,此时x=16,18-x=2.当A,B两种产
10、品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.考向 2 指数函数模型【典例2】一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的已知到今年为止，森林剩余面积为原来的(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?【思路点拨】（1）根据10年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解.（2）根据到今年为止，森林剩余面积为原来的列方程求解.（3）求出第n年后森林剩余面积，根据森林面积至少要保留原面积的列不等式求解.【规范解答】(1
11、)设每年砍伐面积的百分比为x(0 x1)，则即解得(2)设经过m年剩余面积为原来的则即解得m=5.故到今年为止，已砍伐了5年.(3)设从今年开始,以后砍了n年,则n年后剩余面积为令即解得n15.故今后最多还能砍伐15年.【拓展提升】应用指数函数模型的关注点（1）指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.（2）应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型,再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.（3）y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.【提醒】解指数不等式时，一定要化为同底，且注
12、意对应函数的单调性.【变式训练】现有某种细胞100个,其中有占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,至少经过多少小时,细胞总数可以超过1010个?(参考数据:lg 3=0.477,lg 2=0.301)【解析】现有细胞100个,先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数,1小时后,细胞总数为2小时后,细胞总数为3小时后,细胞总数为4小时后,细胞总数为可见,细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为:由得两边取以10为底的对数,得x45.45.答:至少经过46小时,细胞总数超过1010个.考向 3 分段函数模型【典例3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市
13、的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20 x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0 x200时,求函数v(x)的表达式.(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.【思路点拨】(1)当20 x200时，利用待定系数法求v(x)的表达式，进而确定当0 x200时
14、，分段函数v(x).(2)根据(1)求出f(x)，再根据函数的单调性与基本不等式求最值.【规范解答】(1)由题意:当0 x20时,v(x)=60;当20 x200时,设v(x)=ax+b.由已知得解得故函数v(x)的表达式为（2）依题意并由(1)可得当0 x20时,f(x)为增函数，故当x=20时,其最大值为6020=1 200;当20 x200时,当且仅当x=200-x，即x=100时,等号成立.所以当x=100时,f(x)在区间(20,200上取得最大值.综上,当x=100时,f(x)在区间0,200上取得最大值即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小
15、时.【拓展提升】应用分段函数模型的注意点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏.(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(或最小者).【变式训练】据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时,求s的值.(2)将s随
16、t变化的规律用数学关系式表示出来.(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.【解析】(1)由图像可知:当t=4时,v=34=12,(2)当0t10时,当10t20时，当20t35时，(t-20)2(t-20)=-t2+70t-550.综上，可知（3）沙尘暴会侵袭到N城.t0,10时,t(10,20时，smax=3020-150=450650,当t(20,35时，令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40.20t35,t=30.沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.【创新
17、体验】函数建模在实际问题中的应用【典例】(12分)（2012江苏高考）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程.（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【思路点拨】已知条件条件分析令y=0求出x，即为炮的射程函数，再求此函数最值飞行物飞行高度为3.2千米，横坐标为a将y=3.2,x=a,代入根据k0，求a的范围【规范解答】（1）令y=0，得,由实
18、际意义和题设条件知x0,k0,2分故当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.5分(2)因为a0，所以,炮弹可击中目标存在k0,使成立.8分即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根10分判别式=(-20a)2-4a2(a2+64)0，解得a6.所以当a不超过6千米时,可击中目标.12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013江门模拟）小孟进了一批水果，如果他以每千克1.2元的价格出售,那他就会赔4元；如果他以每千克1.5元的价格出售,一共可赚8元.现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为()(A)1.2元(B)1.3元(C)1.
19、4元(D)1.45元【解析】选B.设水果的成本价为x元/千克,共有a千克，由题意知解得x=1.3,则每千克水果应定价1.3元，故选B.2.(2013宜春模拟）某市原来居民用电价格为0.52元/(kWh)，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元/(kWh)，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/(kWh)，对于一个平均每月用电量为200 kWh的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为()(A)110 kWh (B)114 kWh(C)118 kWh (D)120 kWh【解析】选C.设在峰时段的平均
20、用电量为x kWh,由题意知,0.52200-0.55x+0.35(200-x)0.5220010%,解得x118,故选C.3.(2013汉中模拟）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆汽车，则能获得的最大利润为()(A)45.606万元(B)45.6万元(C)45.56万元(D)45.51万元【解析】选B.设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆，0 x15.从而获得的最大利润为y=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(0 x15,
21、xN).当x=10时,ymax=45.6 万元,故选B.4.（2013荆州模拟）在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据:则y关于x的函数关系与下列最接近的函数(其中a,b,c为待定系数)是()(A)y=a+bx (B)y=a+bx(C)y=ax2+b (D)【解析】选B.由x=0时,y=1,排除D；由f(-1.0)f(1.0),排除C;由函数值增长速度不同，排除A,故选B.x-2.0-1.001.02.03.0y0.240.5112.023.988.021.某产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元，每提高一个档次，每件利润增加2元，用同样工时，可以生产最低档产品60件，每
22、提高一个档次将少生产3件产品，则获得利润最大时生产产品的档次是()(A)第7档次(B)第8档次(C)第9档次(D)第10档次【解析】选C.设生产产品的档次为x时，获得的利润为y,则y=8+2(x-1)60-3(x-1)=(6+2x)(63-3x)=-6x2+108x+378=-6(x-9)2+864,当x=9时，y有最大值.2.某商场国庆期间搞促销活动，规定:顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣,如果顾客购物总金额超过500元，则超过500元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算:某人在此商场购物获得的折扣金额为35元,则他实际所付购物金额为_元.可以享受折扣优惠金额折扣率不超过200元的部分5%超过200元的部分10%【解析】设此人享受折扣优惠金额超过200元的部分有x元,根据题意有10%x+2005%=35.x=250.因此，此人购物实际付500+200+250-35=915(元).答案：915
