1、2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（下）期中数学试卷（理科）（B卷）一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合A=x|1x1，B=x|x22x0，则AB=（）Ax|1x2Bx|1x0Cx|1x2Dx|0x12设复数w=（）2，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（）ABCD3如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）Ay=x+f（x）By=xf（x）Cy=x2+f（x）Dy=x2f（x）4在平面直角坐标系xOy中，向量=（1，2），=（2，m），若O，A，B三点能构成三角
2、形，则（）Am=4Bm4Cm1DmR5已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）ABCD6执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A6B8C10D127已知三棱锥SABC，满足SASB，SBSC，SCSA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）A3B2CD8已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k（x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是（）A3，5B1，1C1，3D9已知p：“直线l的倾斜角”；q：“直线l的斜率k1”，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件
3、D既不充分也不必要条件10已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD11f（x）是定义在（0，+）上单调函数，且对x（0，+），都有f（f（x）lnx）=e+1，则方程f（x）f（x）=e的实数解所在的区间是（）A（0，）B（，1）C（1，e）D（e，3）12设平面向量、满足|=2、|=1， =0，点P满足，其中m0，n0，则点P所表示的轨迹长度为（）ABCD二、填空题：（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若，则=14在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）15已知点
4、Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是16已知数列an满足an=（2n1）2n，其前n项和Sn=三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+bc）=3ab（）求角C；（）f（x）=在区间上的值域18连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1+a2+ak=6，则称k为你的幸运数字（1）求你的幸运数字为3的概率；（2）若k=1，则你的得分为5分；若k=2，则你的得分为3分；若k=3，则你的得分为1分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记
5、0分，求得分X的分布列和数学期望19如图，已知四棱锥的侧棱PD底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，ADCD，ABCD，AB=AD=CD=2，点M在侧棱上（1）求证：BC平面BDP；（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值20已知椭圆M： +=1（a0）的一个焦点为F（1，0），左右顶点分别为A，B经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点（）求椭圆方程；（）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值21已知函数，g（x）=xlnxa（x1）（）求函数f（x）在点（4
6、，f（4）处的切线方程；（）若对任意x（0，+），不等式g（x）0恒成立，求实数a的取值的集合M；（）当aM时，讨论函数h（x）=f（x）g（x）的单调性选修4-1：几何证明选讲22如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（）求证：BE=2AD；（）当AC=3，EC=6时，求AD的长选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为=，曲线C的参数方程为（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|MB|=，求点M轨迹的直
7、角坐标方程选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（下）期中数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合A=x|1x1，B=x|x22x0，则AB=（）Ax|1x2Bx|1x0Cx|1x2Dx|0x1【考点】交集及其运算【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行
8、求解即可【解答】解：B=x|x22x0=x|0x2，则AB=x|0x1，故选：D2设复数w=（）2，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出【解答】解：=a为实数，复数w=（）2=+=a+，w的实部为2，a=2则w的虚部为=故选：A3如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）Ay=x+f（x）By=xf（x）Cy=x2+f（x）Dy=x2f（x）【考点】函数奇偶性的判断【分析】逐个计算g（x），观察与g（x）的关系得出答案【解答】解：f（x）是奇函数，f（
9、x）=f（x）对于A，g（x）=x+f（x）=xf（x）=g（x），y=x+f（x）是奇函数对于B，g（x）=xf（x）=xf（x）=g（x），y=xf（x）是偶函数对于C，g（x）=（x）2+f（x）=x2f（x），y=x2+f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（x）=（x）2f（x）=x2f（x）=g（x），y=x2f（x）是奇函数故选B4在平面直角坐标系xOy中，向量=（1，2），=（2，m），若O，A，B三点能构成三角形，则（）Am=4Bm4Cm1DmR【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】O，A，B三点能构成三角形，可得，不共线，利用向量共线定理即可得出【解答】解：O，A，B三
10、点能构成三角形，不共线，4+m0，解得m=4故选：B5已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）ABCD【考点】正弦函数的图象【分析】由题意可得=2sin，结合（|）可得的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=，则可求f（x）的图象的一个对称中心【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+）（|）的图象过点（0，），=2sin，由（|），可得：=，f（x）=2sin（2x+），由五点作图法令2x+=0，可解得：x=，则f（x）的图象的一个对称中心是（，0）故选：B6执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A6B8C10D12【考点】程序框图【分析】根据框图的流程依
11、次计算程序运行的结果，直到满足条件x100，跳出循环体，确定输出k的值【解答】解：模拟执行程序，可得x=3，k=0x=9，k=2不满足条件x100，x=21，k=4不满足条件x100，x=45，k=6不满足条件x100，x=93，k=8不满足条件x100，x=189，k=10满足条件x100，退出循环，输出k的值为10故选：C7已知三棱锥SABC，满足SASB，SBSC，SCSA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）A3B2CD【考点】点、线、面间的距离计算【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的
12、外接球，求出球心到平面ABC的距离，即可求出点Q到平面ABC的距离的最大值【解答】解：三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SCSA，且SA=SB=SC，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，该三棱锥外接球的半径为，正方体的体对角线长为2，球心到平面ABC的距离为=点Q到平面ABC的距离的最大值为+=故选：D8已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k（x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是（）A3，5B1，1C1，3D【考点】简单线性规划【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数y=k（x+1）+1的图象是过点P（1，1），斜率为k的直
13、线l，故由图即可得出其范围【解答】解：作出可行域，如图因为函数y=k（x+1）+1的图象是过点A（1，1），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点M（0，2）时，k取最大值 1，当直线l过点NB（1，0）时，k取最小值，故故选D9已知p：“直线l的倾斜角”；q：“直线l的斜率k1”，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】对于p：“直线l的倾斜角”，则直线l的斜率k=tan1或k0；即可判断出关系【解答】解：p：“直线l的倾斜角”，则直线l的斜率k=tan1或k0；又q：“直线l的斜率k1”，则p是q的必
14、要不充分条件故选：B10已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【分析】求出椭圆的焦点坐标和离心率，进而求得双曲线离心率，根据离心率和焦点坐标建立方程组，求得a和b，则双曲线的渐近线方程即可【解答】解：椭圆，焦点为（4，0），（4，0），离心率e=，双曲线离心率为=2，设双曲线中c=4，可得a=2，可得b=2，故双曲线的渐近线方程为：y=故选：D11f（x）是定义在（0，+）上单调函数，且对x（0，+），都有f（f（x）lnx）=e+1，则方程f（x）f（x）=e的实数解所在的区间是（）A（0
15、，）B（，1）C（1，e）D（e，3）【考点】函数与方程的综合运用；函数的单调性与导数的关系【分析】利用换元法求出函数f（x）的解析式，然后根据函数与方程的关系进行转化，构造函数，判断函数的零点即可得到结论【解答】解：f（x）是定义在（0，+）上单调函数，且对x（0，+），都有f（f（x）lnx）=e+1，设f（x）lnx=t，则f（t）=e+1，即f（x）=lnx+t，令x=t，则f（t）=lnt+t=e+1，则t=e，即f（x）=lnx+e，函数的导数f（x）=，则由f（x）f（x）=e得lnx+e=e，即lnx=0，设h（x）=lnx，则h（1）=ln11=10，h（e）=lne=10，
16、函数h（x）在（1，e）上存在一个零点，即方程f（x）f（x）=e的实数解所在的区间是（1，e），故选：C12设平面向量、满足|=2、|=1， =0，点P满足，其中m0，n0，则点P所表示的轨迹长度为（）ABCD【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】根据条件可得到OAOB，从而可分别以OA，OB为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，从而可以得到，从而可得出向量的坐标，可设P（x，y），从而可得到x2+y2=2（x0，y0），这样即可求出点P所表示的轨迹长度【解答】解：；分别以OA，OB为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（2，0），B（0，1）；，设P（x，y），；x2+y2=2，
17、（x0，y0）；P点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆在第一象限的部分；点P所表示的轨迹长度为故选D二、填空题：（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若，则=【考点】三角函数的化简求值【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可【解答】解：，则=cos（2+）=2cos2（+）1=21=，故答案为：14在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为125（结果用数值表示）【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案【解答
18、】解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C95=126种；其中只有男生C55=1种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为1261=125种；故答案为：12515已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是2【考点】抛物线的简单性质【分析】可画出图形，可求出焦点F坐标为（0，1），可设点P到准线距离为d，从而根据题意知，|y|+|PQ|最小时，d+|PQ|最小，从而只要|PF|+|PQ|最小，而|PF|+|PQ|的最小值为|QF|=3，这样即可得出|y|+|PQ|的最小值【解答】解：如图，抛物线焦点F（0
19、，1），抛物线的准线方程为y=1，设P点到准线距离为d，则：|y|+|PQ|最小时，d+|PQ|最小，d=|PF|；即|PF|+|PQ|最小；由图看出，|PF|+|PQ|的最小值为|QF|=；d+|PQ|的最小值为3；|y|+|PQ|的最小值为2故答案为：216已知数列an满足an=（2n1）2n，其前n项和Sn=6+（2n3）2n+1【考点】数列的求和【分析】使用错位相减法求和【解答】解：Sn=12+322+523+（2n1）2n，2Sn=122+323+524+（2n3）2n+（2n1）2n+1，得：Sn=2+23+24+25+2n+1（2n1）2n+1=2+（2n1）2n+1=6（2n3
20、）2n+1故答案为：6+（2n3）2n+1三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+bc）=3ab（）求角C；（）f（x）=在区间上的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理【分析】（）根据余弦定理求出C的值即可；（）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可【解答】解：（）由（a+b+c）（a+bc）=3ab，得：a2+b2c2=ab，在ABC中，；（）由（）可知，=，函数f（x）的值域为18连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若
21、存在正整数k，使a1+a2+ak=6，则称k为你的幸运数字（1）求你的幸运数字为3的概率；（2）若k=1，则你的得分为5分；若k=2，则你的得分为3分；若k=3，则你的得分为1分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）设“连续抛掷k次骰子的和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中，A1：三次恰好均为2；A2：三次恰好1，2，3各一次；A3：三次中有两次均为1，一次为4，由此利用互斥事件概率加法公式能求出你的幸运数字为3的概率（2）由已知得X的可能取值为6，4，2，0，分别求出相应的
22、概率，由此能求出X的分布列和EX【解答】解：（1）设“连续抛掷k次骰的和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中，A1：三次恰好均为2；A2：三次恰好1，2，3各一次；A3：三次中有两次均为1，一次为4，A1，A2，A3为互斥事件，你的幸运数字为3的概率：P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=+=（2）由已知得X的可能取值为5，3，1，0，P（X=5）=，P（X=3）=，P（X=1）=+=，P（X=0）=1=，X的分布列为： X531 0 PEX=19如图，已知四棱锥的侧棱PD底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，ADCD，ABCD，AB=AD=CD=2，点M在侧棱上（1）
23、求证：BC平面BDP；（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）证明BDBC，PDBC，即可证明BC平面BDP；（2）取PD中点为N，并连结AN，MN，则PAN即异面直线BM与PA所成角，在PAN中，利用余弦定理，即可求出异面直线BM与PA所成角的余弦值【解答】（1）证明：由已知可算得，BD2+BC2=16=DC2，故BDBC，又PD平面ABCD，BC平面ABCD，故PDBC，又BDPD=D，所以BC平面BDP；6分（2）解：如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，BM
24、AN，则PAN即异面直线BM与PA所成角；又PA底面ABCD，PCD即为PC与底面ABCD所成角，即，即，又，则在PAN中，即异面直线BM与PA所成角的余弦值为12分20已知椭圆M： +=1（a0）的一个焦点为F（1，0），左右顶点分别为A，B经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点（）求椭圆方程；（）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及
25、弦长公式即可求得|CD|；（）当直线l不存在斜率时可得，|S1S2|=0；当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；【解答】解：（I）因为F（1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为=1；（）因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x8=0，所以=288，x1+x2=，x1x2=，所以|CD
26、|=|x1x2|=；（）当直线l无斜率时，直线方程为x=1，此时D（1，），C（1，），ABD，ABC面积相等，|S1S2|=0，当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，显然0，方程有根，且x1+x2=，x1x2=，此时|S1S2|=2|y1|y2|=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|=，（k=时等号成立）所以|S1S2|的最大值为21已知函数，g（x）=xlnxa（x1）（）求函数f（x）在点（4，f（
27、4）处的切线方程；（）若对任意x（0，+），不等式g（x）0恒成立，求实数a的取值的集合M；（）当aM时，讨论函数h（x）=f（x）g（x）的单调性【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出原函数的导函数，得到f（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4）的切线方程为ye2=e2（x4），即y=e2x3e2；（）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增，对任意x（0，+），不等式g（x）g（1）=0恒成立，符合题意，即
28、a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间【解答】解：（），f（4）=e2，又f（4）=e2，函数f（x）在点（4，f（4）的切线方程为ye2=e2（x4），即y=e2x3e2； （）由g（1）=0及题设可知，对任意x（0，+），不等式g（x）g（1）恒成立，函数g（x）=xlnxa（x1）必在x=1处取得极小值，即g（1）=0，g（x）=lnx+1a，g（1）=1a=0，即a=1，当a=1时，g（x）=lnx，x（0，1），g（x）0；x（1，+），g（x
29、）0，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0对任意x（0，+），不等式g（x）g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，M=1； （）由（）a=1，函数，其定义域为（0，+），求得，令m（x）=h（x），为区间（0，+）上的增函数，设x0为函数m（x）的零点，即，则，当0xx0时，m（x）0；当xx0时，m（x）0，函数m（x）=h（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+）上为增函数，函数h（x）在区间（0，+）上为增函数 选修4-1：几何证明选讲22如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交BC于点E，AB=2
30、AC（）求证：BE=2AD；（）当AC=3，EC=6时，求AD的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）连接DE，证明DBECBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（）根据割线定理得BDBA=BEBC，从而可求AD的长【解答】（）证明：连接DE，ACED是圆内接四边形，BDE=BCA，又DBE=CBA，DBECBA，即有，又AB=2AC，BE=2DE，CD是ACB的平分线，AD=DE，BE=2AD；（）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BDBA=BEBC，即（6t）6=2t（2t+6），即2t2+9t18=0，解得或
31、6（舍去），则选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为=，曲线C的参数方程为（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|MB|=，即可求点M
32、轨迹的直角坐标方程通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为消去参数，可得曲线（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得： ，即：，x2+2y2=6表示一椭圆取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m22=0由0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】（1）利用|x1|+2|5，转化为7|x1|3，然后求解不等式即可（2）利用条件说明y|y=f（x）y|y=g（x），通过函数的最值，列出不等式求解即可【解答】解：（1）由|x1|+2|5，得5|x1|+257|x1|3，得不等式的解为2x4（2）因为任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以y|y=f（x）y|y=g（x），又f（x）=|2xa|+|2x+3|（2xa）（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x1|+22，所以|a+3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为a1或a52016年8月2日