1、知识能否忆起一、两个向量的夹角1夹角的定义：非零0或0，2射影的定义：设是a与b的夹角，则叫作向量b在a方向上的射影叫作a在b方向上的射影射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量当时，它是正值；当时，它是负值；当90时，它是0.|b|cos|a|cos 为锐角为钝角 3平面向量数量积的定义：已知两个向量a和b，它们的夹角为，把叫作a与b的数量积(或内积)，记作.4数量积的几何意义：a与b的数量积等于的乘积，或的乘积 5数量积的物理意义：力对物体做功，就是.|a|b|cos aba的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 力F与其作用下物体的位移
2、s的数量积Fs二、向量数量积的性质1如果e是单位向量，则aeea|a|cos(为a与e的夹角)2ab.4cos.(为a与b的夹角)5|ab|a|b|.ab0|a|2三、数量积的运算律1交换律：abba.2分配律：(ab)c.3对R，(ab)acbc(a)ba(b)四、数量积的坐标表示设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：1ab.2ab.3|a|.a1b1a2b2a1b1a2b20小题能否全取1已知向量a，b和实数，下列选项中错误的是()A|a|B|ab|a|b|C(ab)abD|ab|a|b|解析：|ab|a|b|cos|，只有a与b共线时，才有|ab|a|b|，可知B是错误的答案：B2已
3、知|a|4，|b|3，a与b的夹角为120，则b在a方向上的投影为()答案：D答案：B3(2012重庆高考)设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()5已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角的大小为_.1.对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角(2)两向量夹角的范围为0，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围2向量运算与数量运算的区别(1)若a，bR，且ab0，则
4、有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0.(2)若a，b，cR，且a0，则由abac可得bc，但由abac及a0却不能推出bc.(3)若a，b，cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的(4)若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立平面向量数量积的运算 例1(1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x ()A6B5 C4 D3答案(1)C(2)18平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a，b的模及夹角，利
5、用公式ab|a|b|cos 求解；(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解答案:B答案：6两平面向量的夹角与垂直例2(1)(2012福州质检)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为120，abc0，则a与c的夹角为()A150B90C60 D30(2)(2011新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.自主解答(1)ab12cos 1201，cab，aca(ab)aaab110，ac.a与c的夹角为90.(2)a与b是不共线的单位向量，|a|b|1.又kab与ab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20.k1kabab
6、0.即k1kcos cos 0(为a与b的夹角)(k1)(1cos)0.又a与b不共线，cos 1.k1.答案(1)B(2)1若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，试求a与b的夹角1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系2(1)若a(1,2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是_ (2)(2012豫南九校联
7、考)已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则“m1”是“(amb)a”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件平面向量的模答案D利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；平面向量数量积的综合应用(1)求f(x)的周期和单调递减区间；向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题4(1
8、)(2012朔州调研)质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形答案：（1）A （2）B平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从两个方面思考，一是利用“数”的特征，我们可以从向量的线性运算、数量积、基底分解及坐标运算等方面思考，将问题转化为代数中的有关问题来解决；二是利用其“形”的特征，可以通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面几何中的问题，直接利用平面几何中的相关结论得到结果.A2B4C5 D101特殊化法该题是一道选择题，可
9、以根据选项的特征选择方法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果答案D题后悟道 该题中四个选项都是定值是选择特殊化方法验证的前提，如果该题中出现“与两直角边的长度有关”，则该题就不能采用特殊化法进行验证了2向量基底法答案D3坐标法我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直角坐标系，这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标，再利用平面向量的坐标运算进行验证答案D题后悟道利用坐标计算向量模的问题，是最常用有效的方法，建立坐标系时，应注意利用图形特点以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢把握向量的这两个基本特征答案：11教师备选题（给有能力的学生加餐）解题训练要高效见“课时跟踪检测（二十八）”答案：D2(2012郑州质检)若向量a(x1,2)，b(4，y)相互垂直，则9x3y的最小值为 ()答案：D答案：D答案：2,5
