1、互动课堂疏导引导1.向量在平面几何中的应用 向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题.利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.案例1 求证平行四边形对角线互相平分，【探究】如图所示，已知ABCD的两条对角线相交于点M，设=x，=y，则=x=x+x，=+=+y=+y（-）=（1-y）+y.于是我们得到关于基底、的的两个分解式，因为分解式是唯一的，所以解得x=，y=，故M
2、是AC、BD的中点，即对角线AC、BD在交点互相平分.通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为：建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.通过向量运算，解决几何元素之间的关系.把运算结果翻译成几何关系.规律总结 （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的定义.(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线是否平行,常运用向量共线的条件.(3)证明线段的垂直问题,常用向量垂直的条件abab=0.(4)求与夹角相关的问题,常用向量的夹角公式cos=.2.向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序
3、实数对（x,y）既可表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决.案例2 求通过点A（-1，2），且平行于向量a=（3，2）的直线方程.【探究】过点A且平行于向量a的直线是唯一确定的，把这条直线记为l，在l上任取一点P（x,y），则a.如果P不与A重合,由向量平行,它们的坐标满足条件.整理得方程2x-3y+8=0.反过来,所有以此方程的解(x,y)为坐标的点也一定在直线l上,所以这个方程,就是所求的直线方程.规律总结 设直线的倾角为,斜率为k,向量a=(a1,a2)平行于l,则有k=tan=.活学巧用【例1】 如图，若
4、D是ABC内一点，且有AB2-AC2=DB2-DC2.求证:ADBC.解析:欲证ADBC,只须证明ADBC即可.设=a,=b.=e,=c.=d,则a=e+c，b=e+d.a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2ec-2ed-d2.由已知a2-b2=c2-d2,c2+2ec-2ed-d2=c2-d2.故有e(d-c)=0,即ADBC.【例2】 已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角的余弦值.解析:本题给出了直角三角形的两直角边长,用坐标法,写出相应点的坐标,再用向量夹角公式求解.以直角边所在直线为x轴,y轴建立如图直角坐标系,则A（4，0），B（0，6
5、），设AF，BE分别为OB、OA边上的中线，则E（2，0），F（0，3）.因=（-4，3），=（2，-6）.所以cos=.所以两中线所成钝角的余弦值为.【例3】 平面内三点A、B、C在一条直线上，=（-2，m），=（n，1），=（5，-1）.且，求实数m,n的值.解析：因为A、B、C三点共线.所以=.因为=-=（7，-1-m）,AB=-=（n+2，1-m）,所以（7,-1-m）=(n+2,1-m).所以mn-5m+n+9=0.由=0得m-2n=0， 由得或【例4】 已知直线l：Ax+By+c=0,n=（AB）求证：nl.证明：设（x0,y0）为l的方程的一个解，则Ax0+By0+C=0（*）.对l的方程和（*）式两边作差，整理得A（x-x0）+B（y-y0）=0.由向量垂直的条件，得向量n=（A，B）与向量（x-x0,y-y0）垂直，由于动点（x,y）的集合就是直线l，所以nl.【例5】如图所示，是并列的三个大小相同的正方形，求证：1+2+3=90.解：以O为坐标原点，OC、OG所在的直线为x,y轴建立坐标系如图，设正方形边长为1，则=（3，1），=（2，1），作向量=（3，-1），则与的夹角等于2+3.|=，|=.=23+1（-1）=5.cos=.0,180，=45,即2+3=45.1=45，1+2+3=90.
