1、2018届南师附中、天一、海门、淮阴四校联考期初高三数学调研测试试题第卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合，且，则实数的值是 2.已知复数，其中是虚数单位，则的实部是 3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以天计算，估计这家面包店一个月内日销售量个到个的天数为 5.有一个质地均匀的正四面体木块个面分别标有数字.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于的概率为 6.已知，则的值为 7.设数列为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，则
2、8.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为 9.高为的正四棱锥的侧面积为，则其体积为 10.设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其函数解析式是，其中.若，则的值是 11.已知函数在上单调递减，则的取值范围是 12.如图，在四边形中，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同的两点，则的值为 13.已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，.当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为 14.已知，则的最小值为 第卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角的对边分别为.已知.（1）求角的大小；（2）若
3、的面积为，求的周长.16. 如图，在三棱锥中，,平面平面分别为中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.17. 如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米，米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园，都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米，直线部门的平均修建费用为元/米.（1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点的位置，使得修建费用最低.18. 已知
4、椭圆的方程：，右准线方程为，右焦点为椭圆的左顶点.（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆在轴上方一点，点在右准线上且满足且，求直线的方程.19. 已知函数（是自然对数的底数）（1）若直线为曲线的一条切线，求实数的值；（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；（3）设，若在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数的取值范围.20. 设数列的首项为，前项和为，若对任意的，均有（是常数且）成立，则称数列为“数列”.（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的的值；若不存在，请说明
5、理由；（3）若数列为“数列”，设，证明：.附加题21. 选做题在A、B、C、D四个小题中只能选做2道，每小题10分，请把答案写在答题卡指定区域内.A. 选修4-1：集合证明选讲如图，为的边上的一点，经过点，交于另一点，经过点，交于另一点，与交于点.B. 选修4-2：矩阵与变换已知二阶矩阵的特征值所对应的一个特征向量.（1）求矩阵；（2）设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为，求曲线的方程.C. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线（为参数）和曲线（为参数）相交于两点，求两点的距离.D. 选修4-5：不等式选讲已知均为正数，且，求证：.22. 如图，已知长方体，直线与平面所成角为垂直于点为的中
6、点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.23. 如图，一只蚂蚁从单位正方体的顶点出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过步回到点的概率.（1）分别写出的值；（2）设顶点出发经过步到达点的概率为，求的值；（3）求.试卷答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题15.解：（1）在中，由正弦定理及，得，即，因为，所以，所以，所以.（2）又，所以，由已知及余弦定理得故，从而，所以的周长为.16.证明：（1）因为分别为中
7、点.所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为为中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，故平面，因为平面，所以.因为，因此.因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面.17.解：（1）如图,米，米，梯形的面积为平方米.矩形的面积为平方米.，扇形和扇形的面积均为平方米，所以阴影部分面积为平方米.答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为平方米.（2）设，则，修建费用，令，则，所以，当时，即，修建费用最低.答：当为时，修建费用最低.18.解：（1），椭圆，（2）设而，又又或或.19.解：（1）设切点，则（*）又代入（*）（2）设，当单调递增时则，又当单调递减时综上单调时，.（3），令，当时，1）当，即时，
8、在上无极值点.2）当即时，I）当即时在递增，在上递增，在上无极值点.II）当时在递减，递增，使得在递减，递增在上有一个极小值点.3）当时，在递减，递增，又，在上恒成立，无极值点.4）当时，在递增，使得，当时，当时，令，下证，即证，又，即证，所以结论成立，即，在递减，递增，为的极小值.综上，或时在上有极值点.20.解：（1）数列为“数列”，则故，两式相减得：，又时，所以，故对任意的恒成立，即（常数），故数列为等比数列，其通项公式为.（2）假设存在这样的数列，则有，故有两式相减得：，故有同理由是“数列”可得：，所以对任意恒成立.所以，即，又，即，两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列
9、”.（3）因为数列为“数列”，所以所以故有，又时，故，满足：所以对任意正整数恒成立，数列的前几项为：.故所以，两式相减得：，显然，故，即.21.A解：（1）连接交于，由四点共圆，可得，同理，故；（2）由（1）知四点共圆，故.B解：（1）依题意，得即，解得；（2）设曲线上一点在矩阵的作用下得到曲线上一点，则，即，整理得，曲线的方程为.C解：曲线的普通方程为曲线的普通方程为，两方程联立得，.D证明：因为，当且仅当取等号所以.22.解：由，得与面所成角为，由（1）以为正交基底建立平面直角坐标系，则，设面的一个法向量为，答：与面所成角的正弦值为（2）令，则设面的一个法向量为化简得或答：存在点，为的中点.23.解：（1）（2）由于顶点出发经过步到达点的概率为，则由出发经过步到达点 的概率也是 并且由出发经过步不可能到这四个点，所以为奇数时，所以，为偶数时，（3）同理，由分别经步到点的概率都是，由出发经过再回到的路径分为以下四类：由经历步到，再经步回到，概率为；由经历步到，再经步回到，概率为；由经历步到，再经步回到，概率为；由经历步到，再经步回到，概率为；所以，结合消元得：，即，所以，故综上所述，.