1、灌南高级中学高二数学月考试卷（理科）制卷人：董永永 校对人：赵学华 2014.5.24测试时间：120分钟 总分160分一、填空题 （14*5=70）1、 若，则= 2、有5种不同的蔬菜，从中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行实验，则不同的种植方法共 种3、已知二阶矩阵满足：,则= 4、的展开式中含x的正整数指数幂的项数共有 项.5、已知，则平面的单位法向量为 6、从中任取2个不同的数，记事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则 7、复数，其中为实数，且在复平面下对应点的坐标位于第一象限，则的取值范围为 8、在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大
2、于其恰好发生两次的概率，则事件在一次试验中发生的概率的最小值为 9、在以O为极点的极坐标系中，直线与曲线C的极坐标方程分别是和，已知直线与曲线C交于点A、B，则线段AB的长为 10、今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）11、已知随机变量，若使的值最大，则 12、已知曲线，对它先作矩阵A对应的变换，再作矩阵B=对应的变换，得到曲线则实数= 13、一个口袋中装有大小和质地都相同的白球和红球共16个，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为随机变量，若，则口袋中的白球
3、个数为 14、36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为，类比上述求解方法，可求得10000的所有正约数之和为 二、解答题（14+14+14+16+16+16=90）15、圆，圆的极坐标方程分别为，（1）把圆圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过圆圆交点的直线的极坐标方程.16、设矩阵.（1） 求，并猜想；（2） 利用（1）所猜想的结论，求证：的特征值是与无关的常数，并求出此常数.17、如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上ABCDPA1B1C1D1C1的一点，. （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60；（2）在线段上是否存
4、在一个定点，使得对任意的m，AP，并证明你的结论. 18、(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花 求恰有两个区域用红色鲜花的概率； 记花圃中红色鲜花区域的块数为S，求它的分布列及其数学期望E(S).图一图二19、将正整数2，3，4，5，6，7，n，作如下分类：（2）,（3,4）,（5,6,7）,（8,9,10,11）,，分别计算各组包含的正整数的和，记为,记（1）分别
5、求，的值；（2）请猜测的结果，并用数学归纳法证明20、已知，（1）若，求的值；（2）若，求中含项的系数；（3）证明：一、 解答：15、 16、（1） （2）设 ABCDPA1B1C1D1C1xyz17、（）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1), D1(0,0,2).所以又由的一个法向量.设与所成的角为，则=，解得.故当时，直线AP与平面所成角为60. （）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则.依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于即Q为的中点时
6、，满足题设的要求. 18、（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：种 （2） 设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图二，当区域A、D同色时，共有种；当区域A、D不同色时，共有种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.图二(由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为种）它们是等可能的。又因为A、D为红色时，共有种；B、E为红色时，共有种；因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种所以，= 随机变量的分布列为：012P 所以，=19、（1）第n组有n个从小到大连续的正整数，且第1个数是，故，6分（2）由（1）知，猜测 10分证明：（）当时，已知成立（）假设时，猜测成立，即则时，因为，所以，即时，猜测成立根据（）（），成立 16分2（1）因为,所以,又,所以 （1） （2）（1）-（2）得：所以： （2）因为，所以中含项的系数为 6分（）设 (1)则函数中含项的系数为 7分 (2)(1)-(2)得中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为 所以