1、第四单元 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数基础梳理.1.角的概念的推广(1)任意角的定义角可以看成平面内一条射线_所形成的图形(2)按逆时针方向旋转形成的角叫做_；按顺时针方向旋转形成的角叫做_；一条射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做_(3)角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是_(4)一般地，与角a终边相同的角的集合_绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置正角负角 零角第几象限角|=k360+a，kZ 2.弧度制(1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫_弧度的角；用弧度作为角的单位来度量角的单位制叫做弧度制
2、在弧度制下1弧度记作1 rad._ rad=360，rad=_.1 2180 度57.30|212lr(2)设长为r的线段OA绕端点O旋转，形成的角为a(a为任意角，单位为弧度)，旋转过程中A所经过的路径看成是圆心角 a所对的弧，设弧长为l，则有|a|=，即l=|a|r，特别 地，若取r=1，则有l=|a|，若|a|2 ，则有圆心角为a的 扇形的面积为S=r2=lr.3.任意角的三角函数定义设a是一个任意角，a的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r=0)，那么sin a=_，cos a=_，tan a=_(x 0)4.单位圆与三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数(如
3、图)22xyyrxryxMPOM AT sin a=_，cos a=_，tan a=_.5.三角函数值在各象限的符号 基础达标1.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心 角弧度是_ 1 rad或4 rad解析：设扇形的弧长是l，半径是r，中心角为a.根据扇形的面积公式有S=lr，由周长为6 cm，则有解得或由l=ar，得a=1 rad或4 rad.26122lrlr41.lr 22lr 122.已知角a的终边与角-690的终边关于y轴对称，则 a=_.150+k360(kZ)解析：角a的终边与角-690的终边关于y轴对称，即角a与角(-690+720)的终边关于y轴对称，即角
4、a与角(180+690-720)的终边重合故a=150+k360(kZ)3.(必修4P10第2题改编)在集合A=a|a=120+k360，kZ 中，属于区间(-360，360)的角的集合是_ 120，-240解析：根据定义，与角a终边相同，且在区间(-360，360)的角的集合是120，-240 4.(2011烟台模拟)已知角a的终边过点P(-4m,3m)(m 0)，则2sina+cosa的值为_ 2255或354525解析：当m0时，r=5m，sin a=，cos a=-，则2sin a+cos a=；当m0时，r=-5m，sin a=-，cos a=，则2sin a+cos a=-.354
5、52523题型一 象限角问题【例1】若a是第二象限的角，试判断：(1)是第几象限 的角；(2)是第几象限的角；(3)2a是第几象限的角 分析：由于a是第二象限的角，可以利用终边相同的角 的表达式表示出a的范围，进而求得，2a的范围，判 定其所在的象限 2解：由a是第二象限的角，得 k360+90ak360+180，kZ.(1)k180+45 k180+90，kZ.当k=2n，nZ时，n360+45 n360+90，nZ，则是第一象限角；当k=2n+1，nZ时，n360+225 n360+270，nZ，则 是第三象限角 综合，可知，是第一或第三象限角 2222(2)360+30 360+60，k
6、Z.当k=3n，nZ时，n360+30 n360+60，nZ，则 是第一象限角；3k33k33 当k=3n+1，nZ时，n360+150 n360+180，nZ，则 是第二象限角；当k=3n+2，nZ时，n360+270 n360+300，nZ，则 是第四象限角；综合，可知，是第一、第二或第四象限的角 (3)2k360+1802a2k360+360，kZ.故2a是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上 33333变式1-1 若 是第四象限的角，则 是第_象限角 2(),2kkZ解析：是第四象限的角，322,22,22kkkk 是第三象限角 题型二 扇形弧长、面积公式应用【例2】已知一扇形的
7、中心角是 ，所在圆的半径是R.(1)若 =60，R=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形 面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当 为多少弧度时，该 扇形有最大面积？分析：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，1060,10,(),33RlRcm S弓=S扇-S=2110131010sin 6050().23232cm(2)扇形的周长C=2R+l=2R+aR，.2CRS扇=2222221111.42222442164CCCCR当且仅当 4,即 2(2 舍去)时，扇形的面积 有最大值 2.16C题型三 三角函数的定义
8、求的值 【例3】已知角 的终边经过点P 且(3,),m2sin,4m sin,cos,tan分析：由三角函数的定义，通过 求出m的值后，再确定 与 的值 2sin,4m 列出关于m的方程，tancos解：222233,sin,3mrmmm 又2sin,4m 22,43mmm则m=0或m=5.当m=0时，3,3,sin0,cos1,tan0;yrxx 5m 当 时，5m 当 时，106152 2,3,5,sin,cos,tan;443rxy 106152 2,3,5,sin,cos,tan;443rxy 解析：由题意知 当a0，则 222514413,|raaa则5cos,13|aa 512co
9、s,tan,135则log5 511log1;5tancos 当a0，512cos,tan,135 则log5 51log 51;tancos 变式3-1 已知角 的终边上一点P的坐标为5 12,(0),aaa求log5 1tancos 的值 解析：为第三象限角，322,2kk则42243,kk而3cos 2,5 则121tan2.4127tantan 4sin 2.5 由同角三角函数关系知 4tan 2.3 则知识准备：1.角的象限及三角函数符号的判断；2.同角三角函数关系；3.两角和的正切关系：tan().1tantantan tan 链接高考(2010 全国)已知a为第三象限的角，3cos 2,5 则tan2_.4