1、四川省宜宾市叙州区第二中学校 2020 届高三数学上学期期末考试试题 文 第 I 卷(选择题 共 60 分）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1已知a 为实数，若复数1 2aii为纯虚数，则a A12 B2 C 12 D 2 2已知集合 A=x|2x4，B=x|y=lg（x2），则 A（RB）=A（2，4）B（2，4）C（2，2）D（2，2 3“1x”是“2log11x ”的 A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 4若an是等差数列
2、，且 a1a4a745，a2a5a839，则 a3a6a9 A39 B20 C19.5 D33 5函数xya(0a 且1a)与函数212yaxx在同一坐标系内的图象可能是 A B C D 6如图，网格线上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为 A 8 3(1)3+B4 3(2)+C 4 3(2)3+D4 3(1)+7已知向量(2,tan)a，(1,1)b，且a b，则tan 4 A2 B 3 C3 D13 8已知命题4sin4sin:xxp，命题03:2 xxq是“4x”的必要不充分条件，则下列命题正确的是 Aqp B)(qp
3、Cqp )(D)()(qp 9将函数 yf x图像上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2 倍,再把所得的图像沿 x 轴向右平移 2 个单位,这样所得的曲线与3ysinx的图像相同,则函数 yf x的表达式是 A 3sinf xx B 3cos2f xx C 3sin 22xf x D 3sin 24xf x 10已知是圆心为2，半径为的圆上两点，且，则等于 A B C2 D 11,x y 满足约束条件362000 xyxyxy ,若目标函数(0,0)zaxby ab的最大值为 12，则 23ab的最小值为 A 256 B25 C 253 D5 12设椭圆 E 的两焦点分别为1F，2F，
4、以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与 E 交于 P，Q 两点，若12PFF为直角三角形，则 E 的离心率为 A512 B21 C22 D21 第卷（非选择题共 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13已知向量1,2,4abx，若a b，则a bv v_.14函数 2263f xsin xcosx的最大值为 15在四面体中，两两垂直，且，则该四面体的外接球的表面积为 .16已知函数 f x 是定义在R 上的偶函数，若对于0 x，都有 2f xf x 且当0,2x时，e1xf xx，则20172018ff _ 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤，第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）17.（12 分）某校高三共有 1000 位学生，为了分析某次的数学考试成绩，采取随机抽样的方法抽取了 50 位高三学生的成绩进行统计分析，得到如图所示频数分布表：分组 50,70)70,90)90,110)110,130)130,150 频数 3 11 18 12 6（）根据频数分布表计算成绩在90,110)的频率并计算这组数据的平均值 x（同组的数据用该组区间的中点值代替）；（）用分层抽样的方法从成绩在90,110)和110,130)的学生中共抽取 5 人，从这 5 人中
6、任取 2 人，求成绩在90,110)和110,130)中各有 1 人的概率.18（12 分）ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为abc，且sinsinsin2 sinaAbBcCaB（）求角 C；（）求3sincos4AB的最大值 19（12 分）18如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长均为 2，D，E 分别为1BB 和AB 的中点（）证明：AD 平面1AEC；（）求点1B 到平面1AEC 的距离.20（12 分）已知椭圆2222:1xyC ab(0)ab的左、右两个焦点分别为1F，2F，上项点 0,3,A 12AFF是正三角形.（）求椭圆C 的标准方程；（）O 为坐标原点，P 是
7、直线1F A 上的一个动点，求2PFPO的最小值，并求出此时点 P 的坐标.21（12 分）设函数，（）当时，证明在是增函数；（）若，求的取值范围 （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin，点0,4A在C 上，直线l 经过点02,4B且与直线OA 垂直.（）求直线l 的极坐标方程；（）已知点 P 在曲线C 上运动（异于O 点），射线OP 交直线l 于点Q，求线段 PQ 的中点轨
8、迹的极坐标方程.23（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 5f xxax.（）当3a 时，求不等式 3f x 的解集；（）若不等式 6f xx的解集包含1,3，求a 的取值范围.2019-2020 学年秋四川省叙州区第二中学高三期末考试 文科数学试题参考答案 1D 2D 3A 4D 5A 6C 7B 8C 9B 10A 11A 12B 1310 149 15 16e-2 17（1）根据频率分布表知成绩在90,100)内的概率为 180.3650，0.06 600.22 800.36 100 x 0.24 1200.12 140102.8.（2）根据分层抽样得应在90,110)和110
9、,130)中分别抽取 3 人和 2 人，将90,110)中的3 人编号为 1，2，3，将110,130)中的 2 人编号为a，b，则此事件中的所有基本事件为1,2，1,3，1,a，1,b，2,3，2,a，2,b，3,a，3,b，,a b，共 10 个，记成绩在90,110)和110,130)中各有 1 人为事件 A，事件 A 包含的基本事件有 6 个，则 35P A.18 2221sinsinsin2 sin2aAbBcCaBabcab 即2222abcab由余弦定理2222cos0224abcCCCab，（2）由题意可得 3sincos4AB 3313sincos3sincos2sincos
10、4422AAAAAA 2sin6A 110,6612AA，12sin26A 3sincos4AB的最大值为 2 19（I）证明：由,ACBC AEBE知CEAB,又平面 ABC 平面11ABB A，所以CE 平面11ABB A,而 AD平面11ABB A，ADCE,在正方形11ABB A 中，由 DE，分别是1BB 和 AB 的中点知1ADAE,而1AECEE，AD 平面1AEC.()解法 1:由（I）AD 平面1AEC,过1B 点作1/B FAD，交1AA 和1A E 分别于点 F和 H,则1B H 平面1AEC,即1B H 的长为1B 到平面1AEC 的距离，在正方形11ABB A 中,易
11、知11Rt A AERt B HA，1111553222A ECSAE EC 11111A EA AB AB H,即1522B H,得1455B H，故1B 到平面1AEC 的距离为 455.解法 2：如图，连接11,B E B C，在三棱锥11BAEC中，设1B 到平面1AEC 的距离为h，则111AECAEBShSCE，将1111553222A ECSAE EC，1111111 2 22,322A EBSA BAACE 代入得 152 32h，得455h，故1B 到平面1AEC 的距离为 455.20（1）由题意的22223acbabc 解得2,3,1abc.所以椭圆C 的标准方程为221
12、43xy.（2）因为12AFF是正三角形，可得直线1AF 的斜率为tan33k，所以直线1AF 的方程为31yx.设点O 关于直线1AF 的对称点为,M m n，则313122nmnm，解得33,22mn，可得 M 坐标为33,22.因为 POPM，所以222PFPOPFPMMF.所以2PFPO的最小值2223310722MF，直线2MF 的方程为3021312yx，即315yx.由31531yxyx 解得2333xy ，所以此时点 P 的坐标为23,33.综上所述，可求的2PFPO的最小值为 7，此时点 P 的坐标为23,33.21：（）由题意得.当1a 时，11xxexfxex.令 1xg
13、 xex，则.当时，所以在为增函数.因此时，所以当时，则 f x 在0,是增函数.（）由.由（）知，当且仅当等号成立.故，从而当,即时,对，.于是对.由得，从而当时，222222111xxxxxxxxxeaaaeaaaeaaeaeaeafxexexex.故当时，.于是当时，.综上，的取值范围是.22解析：（1）由题知2,4A，2 2,4B，故点 B 的直角坐标为2,2，由lOA知直线l 的倾斜角为 34，故直线l 的直角坐标方程为4xy，所以其极坐标方程为cossin4即sin2 24；（2）由题知可设1,P ，2,Q ，其中30,4，则 PQ 中点的极坐标为12,2，由 P 在曲线C 上得1
14、2sin，由Q 在直线l 上得22 2sin4，故 PQ 中点的极坐标为2sin,sin4，所以 PQ 中点轨迹的极坐标方程为23sin04sin4.23（1）当3a 时，35f xxx 82,3,2,35,28,5.x xxxx 当3x 时，由823x，得52x，从而52x；当35x 时，3f x，无解；当5x 时，由283x得112x，从而112x.综上可知，3f x 的解集为52x x 或112x.（2）6f xx的解集包含1,3 等价于当1,3x时，6f xx恒成立，即当1,3x时，56xaxx恒成立，从而65xaxx 651xx，所以1xa 或1xa ，即1ax 或1ax 在1,3 上恒成立，所以0a 或4a.