1、湖南省2012届高三4月第二次十二校联考文科数学试卷总分:150分时量:120分钟 考试时间:2012年4月7日下午3:005:00长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中石门一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株州市二中由 联合命题一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置)1.已知集合,集合,则( )A. B. C. D.2.复数(,为虚数单位)在复平面内对应的点为,则“”是“点在第四象限”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D
2、. 既不充分也不必要条件3.点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到顶点A的距离|PA|1的概率为( )A B C D4.执行右边的程序框图,输出的结果是,则处应填入的条件是( )A. B. C. D. 5.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积 是( )A B C D 6已知实数,构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ) A B. C D. 7.已知向量,则=( )A. B. C. D.8.若函数满足,且当时,则函数 的零点个数为( )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个9.已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,满足,则的取值范围是( )A B C D 二、填空题
3、(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在题中的横线上.)(一)选做题(请在第10、11两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)10.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,圆上的点到直线的距离的最小值是 .11.(优选法与试验设计初步)在调试某设备的线路中,要选一个电阻,但调试者手中只有阻值为七种阻值不等的定值电阻,若用分数法进行4次优选试验,依次将电阻从小到大安排序号,则第三个试点的阻值可能是 .x234y645 (二)必做题(1216题) 12.已知x、y的取值如右表,如果y与x呈线性相关,且线性回归方程为bx,则b .13.已知函数,则不等式的解集为 .14.
4、抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线相交所得弦长为,则的值为 .15.设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为 .16.数列满足,则(1) ;(2)其前项和 .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且()求的值; ()若,且,求的值.18.(本小题满分12分)0.030O40 50 60 70 80 90 100成绩0.0280.0240.006为了增强学生的环境意识,某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛,本次竞赛的成绩(得分均为整数,满分
5、100分)整理得到的频率分布直方图如右.(I)若图中第一组(成绩为)对应矩形高是第六组(成绩为)对应矩形高的一半,试求第一组、第六组分别有学生多少人?(II)在()的条件下,若从第一组中选出一名学生,从第六组中选出2名学生,共3名学生召开座谈会,求第一组中学生A1和第六组中学生B1同时被选中的概率？BCEPA19.(本小题满分12分)如图,三棱锥中,侧面底面, ,且,.()求证:平面;()若为侧棱PB的中点,求直线AE与底面所成角的正弦值.20.(本小题满分13分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得万元到万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投
6、资收益(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过万元,同时奖金不超过投资收益的()请分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;()若该公司采用函数模型作为奖励函数模型,试确定最小的正整数的值21(本小题满分13分)已知中心在坐标原点焦点在轴上的椭圆C,其长轴长等于4,离心率为()求椭圆C的标准方程;()若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.22(本小题满分13分)已知数列的前项和为,点()总在直线上()求数列的通项公式;()若数列满足,试问数列中是否存在最大项,如果存在,请求出;如果不存在,请说明理由十二校联考(二)参考答案一
7、.选择题题号123456789答案BACADBADB二.填空题10. 1 11. 1或5 12. 13. 14. 1 15. 16.(1) 18 ,(2) 三.解答题17.【解】()由正弦定理,得, 2分所以,即4分所以,又.所以5分因为,所以 6分 ()由,得,由()知,所以 8分又因为,即,所以 10分由式解得12分18.【解】() 由频率分布直方图可知第一组和第六组的频率为1-(0.006+0.024+0.028+0.030)=0.122分 又由题知,第一组与第六组频率之比为1:2,所以两组频率分别为0.04、0.084分 所以这两组别有学生人数为500.04=2,500.08=46分(
8、)记中的学生为,中的学生为,由题意可得,基本事件为:; 共12个,10分 事件同时被选中发生有三种,所以由古典概型知, 12分19.【解】() 证明:由知, 又,所以,2分 又,所以所以,即,3分又平面平面,平面平面=,平面,平面,所以,5分又,所以平面6分()如图,取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,BCEHOPA因为PA=PC,所以POAC,同()易证平面,又,所以平面,8分则为直线AE与底面所成角,且10分又,也所以有,由()已证平面,所以,即,故,11分于是所以直线AE与底面所成角的正弦值为.12分20.【解】()对于函数模型当时,为增函数 2分,所以恒成立;
9、4分但当时,即不恒成立故函数模型不符合公司要求6分()对于函数模型,即当,即时递增8分为使对恒成立,即要,即10分为使对恒成立,即要,即恒成立,即()恒成立,又,故只需即可,所以12分综上所述,所以满足条件的最小的正整数的值为13分21.【解】()由题意可设椭圆的标准方程为1分则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=22分又,所以,3分又由于4分所求椭圆C的标准方程为5分()假设存在这样的直线,设,的中点为 因为所以所以(i)其中若时,则,显然直线符合题意;(ii)下面仅考虑情形:由,得,得 7分则8分代入式得,即,解得11分代入式得,得综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率的取值范围是13分22.【解】() 由点()在直线上,故有,即2分当时,所以 ()4分当时,满足上式故数列的通项公式为5分()由(),可知 6分,所以, 8分猜想递减,即猜想当时,10分考察函数,则显然当时,即,故在上是减函数,而12分所以,即猜想正确,因此,数列的最大项是13分