1、蚌埠市2021届高三年级第二次教学质量检查考试数学（理工类）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数满足，则A.B.C.D.2.已知集合，则A.B.C.D.3.已知是三角形的一个内角，则A.B.C.D.4.函数的图象是A.B.C.D.5.已知抛物线
2、的焦点为，过点的直线交于，两点，且，则线段中点的横坐标为A.1B.2C.3D.46.某校随机调查了110名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表：男女喜欢篮球4020不喜欢篮球2030附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关”C.有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”D.有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”7.在各项均为正数的等比数列中，则A.1B.9C.D.8.已知函数在区间上有极值，则实数
3、的取值范围是A.B.C.D.9.在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为A.63B.-517C.-217D.-17710.函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，所得图象对应函数的解析式可以为A.B.C.D.11.已知，则，的大小关系是A.B.C.D.12.已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足，目标函数的最大值为_.14.已知单位向量，满足：，则向量与向量的夹角_.15.双曲线的左顶点为，是双曲线的渐近线与圆的一个交点，过作圆的切线交轴于，若
4、的斜率为，则双曲线的离心率为_.16.在中，角，的对边分别为，若，且，则内切圆半径的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.17.已知数列中，其前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，证明：.18.如图，已知四边形和均为直角梯形，且，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19.市教育局计划举办某知识竞赛，先在，四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛，每个赛区预赛中，成功
5、晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.赛区预赛的具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为.（1）若，该选手选择方式二答题，求他晋级的概率；（2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等.20.已知圆，动圆过点且与圆相切
6、，记动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2），是曲线上的两个动点，且，记中点为，证明：为定值.21.已知函数，（1）讨论函数在区间内的零点个数；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）由直线（为参数，）上的点向曲线引切线，求切线长的最小值.23.选修45：不等式选讲设函数，（1）若时，解不等式：；（2）若关于的不等式存在实数解，求实数的取值范围
7、.蚌埠市2021届高三年级第二次教学质量检查考试数学参考答案及评分标准（理工类）一、选择题：题号123456789101112答案ADACCCBDBBDA二、填空题：13.614.15.16.三、解答题：17.解：（1）由题意知，从而，即，又，数列是以1为首项，公差为2的等差数列，故；（2）.18.（1）证明：在平面中，过作于，交于，连，由题意知，且，故四边形为平行四边形，又平面，平面，故平面.（2）由题意知平面，在平面内过点作交于，以为原点，的方向为，轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设，则.且，设平面的法向量，则由得取，得，易知平面的一个法向量为，所以二面角的余弦值为.19.解：（1）该选
8、手选择方式二答题，记每轮得分为，则可取值为0，20，30，且，记预赛得分为，该选手所以选择方式二答题晋级的概率为.（2）该选手选择方式一答题：设每轮得分为，则可取值为0，20，且，设预赛得分为，则，.该选手选择方式二答题：设每轮得分为，则可取值为0，20，30，且，.设预赛得分为，则，因为，所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等.20.解：（1）点在圆内，圆内切于圆，所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，且，从而故点的轨迹的方程为：.（2）设，若直线斜率存在，设直线方程为，联立，整理得：，因为，所以，即.化简得：，即，从而，.因为，且为中点，所以，在直角中，记原点到直线的距离为，则，由知，原点到直线
9、的距离为，所以为定值.若直线斜率不存在，设直线方程为，联立，解得，由得，即，综上，为定值.21.解：（1）函数定义域，时，在内单调递增，所以，在内无零点；时，的解为，又因为在内单调递增，所以当，在内单调递减，所以在内无零点；当，在内单调递增；，以在有且仅有一个零点；综上所述，当，函数在无零点；当，函数在有1个零点.（2）由题意知在区间上恒成立，设，设，所以在单调递减，又因为列表如下+-+-增减当时，所以.22.解：（1）由，可得，曲线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为：（为参数，），直线上的点向圆引切线长是.当时，切线长的最小值为.23.解：（1）时，所解不等即为：，两边平方解得，原不等式解集为.（2）存在实数解，即存在实数解，令，即，当时等号成立。，解得.（其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
