1、等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示2. 等比中项：若，成等比数列，则称 为 和 的等比中项3.等比数列的前n项和公式： 二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的
2、比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列an的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列an的图象是函数的图象上的一群孤立的点.7在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲例1 已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数）
3、，则为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解：（常数）为等比数列，即B。错因：忽略了中隐含条件n1.正解：当n1时，a1=S1aq;当n1时，（常数）但既不是等差数列，也不是等比数列，选C。例2 已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于.错解：S30= S10q 2. q 27，q， S40= S30q =.错因：是将等比数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.正解：由题意：得，S40=.例3 求和：a+a2+a3+an.错解： a+a2+a3+
4、an.错因：是（1）数列an不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.正解：当a0时，a+a2+a3+an0; 当a1时，a+a2+a3+ann;当a1时， a+a2+a3+an.例4设均为非零实数， 求证：成等比数列且公比为。证明：证法一：关于的二次方程有实根， ， 则必有：，即，非零实数成等比数列 设公比为，则，代入 ，即，即。证法二： ，且 非零，。 例5在等比数列中，求该数列前7项之积。 解： ，前七项之积 例6求数列前n项和 解： 两式相减：例7从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次
5、都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？ (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为an，则： a1= 0.2 （kg）, a2=0.2（kg）, a3= ()20.2（kg） 由此可见：an= ()n-10.2（kg）, a5= ()5-10.2= ()40.2=0.0125（kg）。 (2)由(1)得an是等比数列 a1=0.2 , q= 答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：1) a1=-2, a3=-82) a1=5, 且2an+1=-3an 3) a1=5, 且2.在等比数列，已知，求. 3.已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列为求此数列前项的和。5.已知数列an中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn6.是否存在数列an，其前项和Sn组成的数列Sn也是等比数列，且公比相同？7.在等比数列中，求的范围。