1、20102014年高考真题备选题库第9章 概率第3节 几何概型1(2014辽宁，5分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A. B. C. D. 解析：选B由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P，故选B. 2(2014湖南，5分)在区间 2,3上随机选取一个数X ，则 X1的概率为()A. B.C. D.解析：选B区间2,3的长度为3(2)5，2,1的长度为1(2)3，故满足条件的概率p.3(2014福建，5分)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影
2、部分的面积为_解析：依题意，得，所以，解得S阴影0.18.答案：0.18 4(2014重庆，5分)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答)解析：设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(5030)2400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A(x，y)|yx5,30x50,30y50，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为1515，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A).答案：5（20
3、13湖南，5分）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则()A.B.C. D.解析：本题主要考查几何概型与三角形的最大角的性质，结合数形结合思想和转化思想，意在考查考生的转化能力和运算能力由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB22AD2，解得2，即.答案：D6（2013福建，4分）利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_解析：本题考查了几何概型与随机模拟等知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力因为0a1，由3a10得0”发生的概率为.答案：7（2013湖北，5分）在区间2,4上随机地
4、取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.解析：本题以非常简单的区间和不等式的解集立意，考查几何概型由几何概型知：m3.答案：38（2012北京，5分）设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.B.C. D.解析：不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x，y)，则随机事件：在区域D内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2y24的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为.答案：D9（2012湖北，5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点
5、取自阴影部分的概率是()A. B.C1 D.解析：设OAOBr，则两个以为半径的半圆的公共部分面积为2()2()2，两个半圆外部的阴影部分面积为r2()22，所以所求概率为1.答案：C10（2011福建，5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于()A.B.C. D.解析：点E为边CD的中点，故所求的概率P.答案：C11（2011湖南，5分）已知圆C：x2y212，直线l：4x3y25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为_；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_解析：根据点到直线的距离公式得d5；设直线4x3y
6、c到圆心的距离为3，则3，取c15，则直线4x3y15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是2，则可得直线4x3y15截得的圆弧所对的圆心角为60，故所求的概率是.答案：512(2010福建，12分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EHA1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.(1)证明：AD平面EFGH；(2)设AB2AA12a，在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自几何体A1ABFED1DCGH内的概率为P.当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运
7、动且满足EFa，求P的最小值解：法一：(1)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADA1D1.又EHA1D1，ADEH.AD平面EFGH，EH平面EFGH，AD平面EFGH.(2)设BCb，则长方体ABCDA1B1C1D1的体积VABBCAA12a2b，几何体EB1FHC1G的体积V1(EB1B1F)B1C1EB1B1F.EBB1F2a2，EB1B1F，当且仅当EB1B1Fa时等号成立从而V1.p11，当且仅当EB1B1Fa时等号成立所以P的最小值等于.法二：(1)同解法一(2)设BCb，则长方体ABCDA1B1C1D1的体积VABBCAA12a2b，几何体EB1FHC1G的体积V1(EB1B1F)B1C1EB1B1F.设B1EF(090)，则EB1acos，B1Fasin.故EB1B1Fa2sincossin2，当且仅当sin21，即45时等号成立从而V1.P11，当且仅当sin21，即45时等号成立所以P的最小值等于.